Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limcresioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcresioolb 40193
 Description: The right limit doesn't change if the function is restricted to a smaller open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcresioolb.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcresioolb.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limcresioolb.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
limcresioolb.bltc (𝜑𝐵 < 𝐶)
limcresioolb.bcss (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
limcresioolb.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
limcresioolb.cled (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
limcresioolb (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))

Proof of Theorem limcresioolb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcresioolb.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
2 limcresioolb.cled . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐷)
3 iooss2 12249 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
41, 2, 3syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵(,)𝐷))
54resabs1d 5463 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) = (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)))
65eqcomd 2657 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)))
76oveq1d 6705 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵))
8 limcresioolb.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
9 fresin 6111 . . . 4 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷))⟶ℂ)
11 limcresioolb.bcss . . . 4 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ 𝐴)
1211, 4ssind 3870 . . 3 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
13 inss2 3867 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ (𝐵(,)𝐷)
14 ioosscn 40034 . . . . 5 (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℂ
1513, 14sstri 3645 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℂ)
17 eqid 2651 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
18 eqid 2651 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
19 limcresioolb.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019rexrd 10127 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
21 limcresioolb.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
22 limcresioolb.bltc . . . . 5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
23 lbico1 12266 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
25 snunioo1 40056 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐵 < 𝐶) → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
2620, 21, 22, 25syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵}) = (𝐵[,)𝐶))
2726fveq2d 6233 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)))
2817cnfldtop 22634 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
29 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (𝐵(,)𝐷) ∈ V
3029inex2 4833 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∈ V
31 snex 4938 . . . . . . . . 9 {𝐵} ∈ V
3230, 31unex 6998 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V
33 resttop 21012 . . . . . . . 8 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
3428, 32, 33mp2an 708 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top)
36 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ ∈ ℝ*)
3821adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
39 icossre 12292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
4019, 21, 39syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ⊆ ℝ)
4140sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4241mnfltd 11996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → -∞ < 𝑥)
4320adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
45 icoltub 40050 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4643, 38, 44, 45syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
4737, 38, 41, 42, 46eliood 40038 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
48 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
49 snidg 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ {𝐵})
50 elun2 3814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ {𝐵} → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5119, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5348, 52eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
5453adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
55 simpll 805 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝜑)
5643adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5738adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5841adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
5919ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
60 icogelb 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
6143, 38, 44, 60syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
63 neqne 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 = 𝐵𝑥𝐵)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
6559, 58, 62, 64leneltd 10229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
6646adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
6756, 57, 58, 65, 66eliood 40038 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
6812sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
69 elun1 3813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7155, 67, 70syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7254, 71pm2.61dan 849 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
7347, 72elind 3831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
7424adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,)𝐶))
7548, 74eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
7675adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
77 ioossico 12300 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝐵[,)𝐶)
7820ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7921ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
80 elinel1 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
8180elioored 40094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ℝ)
8281ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
831ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ*)
84 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) → 𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 = 𝐵)
86 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
8785, 86sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵 → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
88 elunnel2 39512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
8984, 87, 88syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)))
9013, 89sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
9190adantll 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷))
92 ioogtlb 40035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐷)) → 𝐵 < 𝑥)
9378, 83, 91, 92syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 < 𝑥)
9436a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → -∞ ∈ ℝ*)
9521adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9680adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶))
97 iooltub 40053 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝐶)) → 𝑥 < 𝐶)
9894, 95, 96, 97syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 < 𝐶)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐶)
10078, 79, 82, 93, 99eliood 40038 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶))
10177, 100sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
10276, 101pm2.61dan 849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))
10373, 102impbida 895 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))))
104103eqrdv 2649 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
105 retop 22612 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
106105a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
10732a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V)
108 iooretop 22616 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))
109108a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,)))
110 elrestr 16136 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ∈ V ∧ (-∞(,)𝐶) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
111106, 107, 109, 110syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-∞(,)𝐶) ∩ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
112104, 111eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
11317tgioo2 22653 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
114113oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))
11528a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
116 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵(,)𝐷) ⊆ ℝ
11713, 116sstri 3645 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ⊆ ℝ)
11919snssd 4372 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
120118, 119unssd 3822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ)
121 reex 10065 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ V)
123 restabs 21017 . . . . . . . . 9 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
124115, 120, 122, 123syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
125114, 124syl5eq 2697 . . . . . . 7 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
126112, 125eleqtrd 2732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))
127 isopn3i 20934 . . . . . 6 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})) ∈ Top ∧ (𝐵[,)𝐶) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵}))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
12835, 126, 127syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘(𝐵[,)𝐶)) = (𝐵[,)𝐶))
12927, 128eqtr2d 2686 . . . 4 (𝜑 → (𝐵[,)𝐶) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
13024, 129eleqtrd 2732 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∩ (𝐵(,)𝐷)) ∪ {𝐵})))‘((𝐵(,)𝐶) ∪ {𝐵})))
13110, 12, 16, 17, 18, 130limcres 23695 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))
1327, 131eqtrd 2685 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐶)) lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)𝐷)) lim 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  ran crn 5144   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  (,)cioo 12213  [,)cico 12215   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  ℂfldccnfld 19794  Topctop 20746  intcnt 20869   limℂ climc 23671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675 This theorem is referenced by:  fouriersw  40766
 Copyright terms: Public domain W3C validator