MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcres 23841
Description: If 𝐵 is an interior point of 𝐶 ∪ {𝐵} relative to the domain 𝐴, then a limit point of 𝐹𝐶 extends to a limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcres.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcres.c (𝜑𝐶𝐴)
limcres.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcres.j 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
limcres.i (𝜑𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
Assertion
Ref Expression
limcres (𝜑 → ((𝐹𝐶) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem limcres
Dummy variables 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrcl 23829 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → ((𝐹𝐶):dom (𝐹𝐶)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐶) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
21simp3d 1138 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 limccl 23830 . . . . . 6 ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ⊆ ℂ
43sseli 3732 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
52, 4jca 555 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
7 limcrcl 23829 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
87simp3d 1138 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 limccl 23830 . . . . . 6 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
109sseli 3732 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
118, 10jca 555 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)))
13 limcres.j . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
14 limcres.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
1514cnfldtopon 22779 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
16 limcres.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1716adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
18 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1918snssd 4477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
2017, 19unssd 3924 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
21 resttopon 21159 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
2215, 20, 21sylancr 698 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
2313, 22syl5eqel 2835 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
24 topontop 20912 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐽 ∈ Top)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐽 ∈ Top)
26 limcres.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
2726adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶𝐴)
28 unss1 3917 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}))
30 toponuni 20913 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐽)
3123, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐽)
3229, 31sseqtrd 3774 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐽)
33 limcres.i . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
3433adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})))
35 elun 3888 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵}))
36 simplrr 820 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 limcres.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3938ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4036, 39ifcld 4267 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧𝐴) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
41 elsni 4330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝐵} → 𝑧 = 𝐵)
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑧 = 𝐵)
4342iftrued 4230 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) = 𝑥)
44 simplrr 820 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → 𝑥 ∈ ℂ)
4543, 44eqeltrd 2831 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4640, 45jaodan 861 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ (𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
4735, 46sylan2b 493 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
48 eqid 2752 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4947, 48fmptd 6540 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
5031feq2d 6184 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ))
5149, 50mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ)
52 eqid 2752 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
5315toponunii 20915 . . . . . . 7 ℂ = 𝐾
5452, 53cnprest 21287 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ 𝐽) ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐶 ∪ {𝐵})) ∧ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))): 𝐽⟶ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
5525, 32, 34, 51, 54syl22anc 1474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
5613, 14, 48, 38, 17, 18ellimc 23828 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
57 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
58 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)))
5938, 27fssresd 6224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
6027, 17sstrd 3746 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
6157, 14, 58, 59, 60, 18ellimc 23828 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
6229resmptd 5602 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))))
63 elun 3888 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 ∈ {𝐵}))
64 velsn 4329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
6564orbi2i 542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐶𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 = 𝐵))
6663, 65bitri 264 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐶𝑧 = 𝐵))
67 pm5.61 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
68 fvres 6360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐶 ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7067, 69sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹𝐶)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
7170ifeq2da 4253 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝐶𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7266, 71sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7372mpteq2ia 4884 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
7462, 73syl6reqr 2805 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) = ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})))
7513oveq1i 6815 . . . . . . . . . 10 (𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵}))
7615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
77 cnex 10201 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
7877ssex 4946 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
7920, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V)
80 restabs 21163 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐶 ∪ {𝐵}) ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ V) → ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8176, 29, 79, 80syl3anc 1473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ↾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8275, 81syl5req 2799 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) = (𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})))
8382oveq1d 6820 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = ((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
8483fveq1d 6346 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
8574, 84eleq12d 2825 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → ((𝑧 ∈ (𝐶 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹𝐶)‘𝑧))) ∈ (((𝐾t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8661, 85bitrd 268 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ↾ (𝐶 ∪ {𝐵})) ∈ (((𝐽t (𝐶 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8755, 56, 863bitr4rd 301 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
8887ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
896, 12, 88pm5.21ndd 368 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝐶) lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
9089eqrdv 2750 1 (𝜑 → ((𝐹𝐶) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332  cun 3705  wss 3707  ifcif 4222  {csn 4313   cuni 4580  cmpt 4873  dom cdm 5258  cres 5260  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  t crest 16275  TopOpenctopn 16276  fldccnfld 19940  Topctop 20892  TopOnctopon 20909  intcnt 21015   CnP ccnp 21223   lim climc 23817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-fz 12512  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-rest 16277  df-topn 16278  df-topgen 16298  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-ntr 21018  df-cnp 21226  df-xms 22318  df-ms 22319  df-limc 23821
This theorem is referenced by:  dvreslem  23864  dvaddbr  23892  dvmulbr  23893  lhop2  23969  lhop  23970  limciccioolb  40348  limcicciooub  40364  limcresiooub  40369  limcresioolb  40370  ioccncflimc  40593  icocncflimc  40597  dirkercncflem3  40817  fourierdlem32  40851  fourierdlem33  40852  fourierdlem48  40866  fourierdlem49  40867  fourierdlem62  40880  fouriersw  40943
  Copyright terms: Public domain W3C validator