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Theorem limcrecl 40179
Description: If 𝐹 is a real-valued function, 𝐵 is a limit point of its domain, and the limit of 𝐹 at 𝐵 exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcrecl.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
limcrecl.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcrecl.3 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
limcrecl.4 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Assertion
Ref Expression
limcrecl (𝜑𝐿 ∈ ℝ)

Proof of Theorem limcrecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limcrecl.4 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
21adantr 480 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
3 limccl 23684 . . . . . . . . . 10 (𝐹 lim 𝐵) ⊆ ℂ
43, 1sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
54adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
6 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ ℝ)
75, 6eldifd 3618 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ (ℂ ∖ ℝ))
87dstregt0 39807 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
9 cnxmet 22623 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
11 limcrecl.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1211ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℂ)
1312ssdifssd 3781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
14 limcrecl.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴))
15 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1615cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
18 unicntop 22636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
1911, 18syl6sseq 3684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 (TopOpen‘ℂfld))
20 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2120lpdifsn 20995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 (TopOpen‘ℂfld)) → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2217, 19, 21syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ↔ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))))
2314, 22mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
2423ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
25 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2615cnfldtopn 22632 . . . . . . . . . . . . . 14 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
2726lpbl 22355 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
2810, 13, 24, 25, 27syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
29 eldif 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}))
3029anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ ((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
31 anass 682 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ∈ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3230, 31bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))))
3332rexbii2 3068 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
3428, 33sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)))
35 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ {𝐵})
36 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
3736necon3bbii 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧𝐵)
3835, 37sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐵)
39 simp-5l 825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
40 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
41 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
42 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))
439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
4418lpss 20994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4517, 11, 44syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝐴) ⊆ ℂ)
4645, 14sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
47463ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
48 rpxr 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ*)
49483ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 elbl 22240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5143, 47, 49, 50syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)))
5242, 51mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦))
5352simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → 𝑧 ∈ ℂ)
5453, 47abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) = (abs‘(𝐵𝑧)))
55 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5655cnmetdval 22621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5747, 53, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) = (abs‘(𝐵𝑧)))
5852simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (𝐵(abs ∘ − )𝑧) < 𝑦)
5957, 58eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝐵𝑧)) < 𝑦)
6054, 59eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6139, 40, 41, 60syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦)
6238, 61jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6362adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦))
6439adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝜑)
65 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑧𝐴)
6664, 65jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → (𝜑𝑧𝐴))
67 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
68 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
69 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7069ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 ∈ ℝ)
71 limcrecl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
7271ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
7372recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7473ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
754ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝐿 ∈ ℂ)
7674, 75subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ((𝐹𝑧) − 𝐿) ∈ ℂ)
7776abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) ∈ ℝ)
7872adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
79 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝜑
80 nfra1 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))
8179, 80nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
82 rspa 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
8382adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)))
844adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℂ)
85 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ ⊆ ℂ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8786sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → 𝑤 ∈ ℂ)
8884, 87abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
8988adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐿𝑤)) = (abs‘(𝑤𝐿)))
9083, 89breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9190ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → (𝑤 ∈ ℝ → 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿))))
9281, 91ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
9392adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)))
94 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑤𝐿) = ((𝐹𝑧) − 𝐿))
9594fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (abs‘(𝑤𝐿)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9695breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) ↔ 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9796rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝑤𝐿)) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿))))
9878, 93, 97sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐴) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
9998adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → 𝑥 < (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)))
10070, 77, 99ltnsymd 10224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10166, 67, 68, 100syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)
10263, 101jcn 39519 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦))) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
103102ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((¬ 𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
104103reximdva 3046 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧𝐴𝑧 ∈ {𝐵} ∧ 𝑧 ∈ (𝐵(ball‘(abs ∘ − ))𝑦)) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
10534, 104mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
106 rexnal 3024 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐴 ¬ ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
107105, 106sylib 208 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
108107nrexdv 3030 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
109108ex 449 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
110109reximdva 3046 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ 𝑥 < (abs‘(𝐿𝑤)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
1118, 110mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
112 rexnal 3024 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℝ+ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
113111, 112sylib 208 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))
114113intnand 982 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥)))
11571, 86fssd 6095 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
116115, 11, 46ellimc3 23688 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
117116adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐿)) < 𝑥))))
118114, 117mtbird 314 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐿 ∈ ℝ) → ¬ 𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1192, 118condan 852 1 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   cuni 4468   class class class wbr 4685  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  *cxr 10111   < clt 10112  cmin 10304  +crp 11870  abscabs 14018  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  fldccnfld 19794  Topctop 20746  limPtclp 20986   lim climc 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  40426  fourierdlem60  40701  fourierdlem61  40702  fourierdlem74  40715  fourierdlem75  40716  fourierdlem85  40726  fourierdlem88  40729  fourierdlem95  40736  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745
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