Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcrcl 23808
 Description: Reverse closure for the limit operator. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
limcrcl (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))

Proof of Theorem limcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-limc 23800 . . 3 lim = (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm ℂ), 𝑥 ∈ ℂ ↦ {𝑦[(TopOpen‘ℂfld) / 𝑗](𝑧 ∈ (dom 𝑓 ∪ {𝑥}) ↦ if(𝑧 = 𝑥, 𝑦, (𝑓𝑧))) ∈ (((𝑗t (dom 𝑓 ∪ {𝑥})) CnP 𝑗)‘𝑥)})
21elmpt2cl 7029 . 2 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3 cnex 10180 . . . . 5 ℂ ∈ V
43, 3elpm2 8043 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
54anbi1i 733 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
6 df-3an 1074 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
75, 6bitr4i 267 . 2 ((𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
82, 7sylib 208 1 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2127  {cab 2734  [wsbc 3564   ∪ cun 3701   ⊆ wss 3703  ifcif 4218  {csn 4309   ↦ cmpt 4869  dom cdm 5254  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   ↑pm cpm 8012  ℂcc 10097   ↾t crest 16254  TopOpenctopn 16255  ℂfldccnfld 19919   CnP ccnp 21202   limℂ climc 23796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-pm 8014  df-limc 23800 This theorem is referenced by:  limccl  23809  limcdif  23810  limcresi  23819  limcres  23820  limccnp  23825  limccnp2  23826  limcco  23827  limcun  23829  mullimc  40320  limccog  40324  mullimcf  40327  limcperiod  40332  limcmptdm  40339  neglimc  40351  addlimc  40352  0ellimcdiv  40353  reclimc  40357
 Copyright terms: Public domain W3C validator