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Theorem limcperiod 40178
Description: If 𝐹 is a periodic function with period 𝑇, the limit doesn't change if we shift the limiting point by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limcperiod.f (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
limcperiod.assc (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcperiod.3 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
limcperiod.b 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
limcperiod.bss (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
limcperiod.fper ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
limcperiod.clim (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷))
Assertion
Ref Expression
limcperiod (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem limcperiod
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23684 . . 3 ((𝐹𝐴) lim 𝐷) ⊆ ℂ
2 limcperiod.clim . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷))
31, 2sseldi 3634 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 limcperiod.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
5 limcperiod.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
64, 5fssresd 6109 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴):𝐴⟶ℂ)
7 limcperiod.assc . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
8 limcrcl 23683 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷) → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
92, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴):dom (𝐹𝐴)⟶ℂ ∧ dom (𝐹𝐴) ⊆ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ))
109simp3d 1095 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
116, 7, 10ellimc3 23688 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹𝐴) lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))))
122, 11mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)))
1312simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
1413r19.21bi 2961 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
15 simpl1l 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) → 𝜑)
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝜑)
17 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → 𝑏𝐵)
18 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐵𝑏𝐵)
19 limcperiod.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
20 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑧 + 𝑇))
2120eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
2221cbvrexv 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
23 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2423rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑧𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2522, 24syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)))
2625cbvrabv 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
2719, 26eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
2818, 27syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐵𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
29 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3029rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑏 → (∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3130elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3228, 31sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏𝐵 → (𝑏 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇)))
3332simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏𝐵 → ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → ∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇))
35 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
36353ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) = ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇))
377sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
38 limcperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
4037, 39pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
41403adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑧)
4236, 41eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) = 𝑧)
43 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑧𝐴)
4442, 43eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐴𝑏 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)
45443exp 1283 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑧𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑧𝐴 → (𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)))
4746rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → (∃𝑧𝐴 𝑏 = (𝑧 + 𝑇) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴))
4834, 47mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → (𝑏𝑇) ∈ 𝐴)
49 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧𝐴 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ ℂ
5027, 49eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ ℂ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
5251sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℂ)
5338adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
5452, 53npcand 10434 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐵) → ((𝑏𝑇) + 𝑇) = 𝑏)
5554eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇))
56 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑏𝑇) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑏𝑇) + 𝑇))
5756eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑏𝑇) → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) ↔ 𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇)))
5857rspcev 3340 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏𝑇) ∈ 𝐴𝑏 = ((𝑏𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
5948, 55, 58syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
6016, 17, 59syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
61 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
62 nfrab1 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
6319, 62nfcxfr 2791 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵
6463nfcri 2787 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 𝑏𝐵
6561, 64nfan 1868 . . . . . . . . . . 11 𝑥(((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵)
66 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
6765, 66nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑥((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧))
68 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑥abs
69 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐹
7069, 63nfres 5430 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝐹𝐵)
71 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑏
7270, 71nffv 6236 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝐹𝐵)‘𝑏)
73 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥
74 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐶
7572, 73, 74nfov 6716 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)
7668, 75nffv 6236 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶))
77 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥 <
78 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑤
7976, 77, 78nfbr 4732 . . . . . . . . . 10 𝑥(abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤
80 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 = (𝑥 + 𝑇))
8180fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘𝑏) = ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)))
82173ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏𝐵)
8380, 82eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵)
84 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐵 → ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
86163ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝜑)
87 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥𝐴)
88 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐴𝑥𝐴))
8988anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → ((𝜑𝑦𝐴) ↔ (𝜑𝑥𝐴)))
90 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
9190fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
92 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
9391, 92eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)))
9489, 93imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → (((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))))
95 limcperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
9694, 95chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
9786, 87, 96syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
98 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴 → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
9987, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐴)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
10097, 99eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
10181, 85, 1003eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹𝐵)‘𝑏) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
102101oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶) = (((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶))
103102fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
104 simpll3 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
1051043ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤))
106105, 87jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥𝐴))
107 simp1rl 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇))
108107neneqd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
109 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 + 𝑇) = (𝐷 + 𝑇))
11080, 109sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) ∧ 𝑥 = 𝐷) → 𝑏 = (𝐷 + 𝑇))
111108, 110mtand 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ¬ 𝑥 = 𝐷)
112111neqned 2830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥𝐷)
11380oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)) = ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)))
1147sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
11586, 87, 114syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
11686, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝐷 ∈ ℂ)
11786, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℂ)
118115, 116, 117pnpcan2d 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + 𝑇) − (𝐷 + 𝑇)) = (𝑥𝐷))
119113, 118eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥𝐷) = (𝑏 − (𝐷 + 𝑇)))
120119fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥𝐷)) = (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))))
121 simp1rr 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)
122120, 121eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧)
123112, 122jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧))
124 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷𝑥𝐷))
125 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐷) = (𝑥𝐷))
126125fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(𝑦𝐷)) = (abs‘(𝑥𝐷)))
127126breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧))
128124, 127anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧)))
129 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝐴)‘𝑦) = ((𝐹𝐴)‘𝑥))
130129oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶) = (((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶))
131130fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)))
132131breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
133128, 132imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ↔ ((𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)))
134133rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐷 ∧ (abs‘(𝑥𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤))
135106, 123, 134sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑥) − 𝐶)) < 𝑤)
136103, 135eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) ∧ 𝑥𝐴𝑏 = (𝑥 + 𝑇)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
1371363exp 1283 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (𝑥𝐴 → (𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
13867, 79, 137rexlimd 3055 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (∃𝑥𝐴 𝑏 = (𝑥 + 𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
13960, 138mpd 15 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) ∧ (𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧)) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)
140139ex 449 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) ∧ 𝑏𝐵) → ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
141140ralrimiva 2995 . . . . . 6 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤)) → ∀𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
1421413exp 1283 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
143142reximdvai 3044 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐴 ((𝑦𝐷 ∧ (abs‘(𝑦𝐷)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤)))
14414, 143mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
145144ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))
146 limcperiod.bss . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
1474, 146fssresd 6109 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
14810, 38addcld 10097 . . 3 (𝜑 → (𝐷 + 𝑇) ∈ ℂ)
149147, 51, 148ellimc3 23688 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐵 ((𝑏 ≠ (𝐷 + 𝑇) ∧ (abs‘(𝑏 − (𝐷 + 𝑇))) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑏) − 𝐶)) < 𝑤))))
1503, 145, 149mpbir2and 977 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐹𝐵) lim (𝐷 + 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  +crp 11870  abscabs 14018   lim climc 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675
This theorem is referenced by:  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem81  40722  fourierdlem89  40730  fourierdlem91  40732  fourierdlem92  40733
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