Theorem limcmpt2 23874

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpt2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
limcmpt2.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
limcmpt2.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
limcmpt2.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
limcmpt2	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑧)   𝐽(𝑧)   𝐾(𝑧)

Proof of Theorem limcmpt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcmpt2.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
2	1	ssdifssd 3896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
3		limcmpt2.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sseldd 3750	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		eldifsn 4450	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵))
6		limcmpt2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ≠ 𝐵)) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	5, 6	sylan2b 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐷 ∈ ℂ)
8		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
9		limcmpt2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
10	2, 4, 7, 8, 9	limcmpt 23873	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
11		undif1 4182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
12	3	snssd 4472	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
13		ssequn2 3934	. . . . . 6 ⊢ ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
14	12, 13	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
15	11, 14	syl5eq 2815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = 𝐴)
16	15	mpteq1d 4869	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) = (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)))
17	15	oveq2d 6807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = (𝐾 ↾t 𝐴))
18		limcmpt2.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐴)
19	17, 18	syl6eqr 2821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) = 𝐽)
20	19	oveq1d 6806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾) = (𝐽 CnP 𝐾))
21	20	fveq1d 6333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) = ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))
22	16, 21	eleq12d 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ (((𝐾 ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))
23	10, 22	bitrd 268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐶, 𝐷)) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1629   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3717   ∪ cun 3718   ⊆ wss 3720  ifcif 4222  {csn 4313   ↦ cmpt 4860  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791  ℂcc 10134   ↾_t crest 16295  TopOpenctopn 16296  ℂ_fldccnfld 19967   CnP ccnp 21256   lim_ℂ climc 23852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-fz 12533  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-rest 16297  df-topn 16298  df-topgen 16318  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-cnfld 19968  df-top 20925  df-topon 20942  df-topsp 20964  df-bases 20977  df-cnp 21259  df-xms 22351  df-ms 22352  df-limc 23856

This theorem is referenced by:  dvcnp  23908