Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcmo 23866
 Description: If 𝐵 is a limit point of the domain of the function 𝐹, then there is at most one limit value of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
limcmo (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Proof of Theorem limcmo
StepHypRef Expression
1 limcflf.k . . . . 5 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldhaus 22810 . . . 4 𝐾 ∈ Haus
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
4 limcflf.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 limcflf.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
6 limcflf.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
7 eqid 2761 . . . 4 (𝐴 ∖ {𝐵}) = (𝐴 ∖ {𝐵})
8 eqid 2761 . . . 4 (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵}))
94, 5, 6, 1, 7, 8limcflflem 23864 . . 3 (𝜑 → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Fil‘(𝐴 ∖ {𝐵})))
10 difss 3881 . . . 4 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
11 fssres 6232 . . . 4 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
124, 10, 11sylancl 697 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
131cnfldtopon 22808 . . . . 5 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
1413toponunii 20944 . . . 4 ℂ = 𝐾
1514hausflf 22023 . . 3 ((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})) ∈ (Fil‘(𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ) → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
163, 9, 12, 15syl3anc 1477 . 2 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
174, 5, 6, 1, 7, 8limcflf 23865 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
1817eleq2d 2826 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))))
1918mobidv 2629 . 2 (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ∃*𝑥 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t (𝐴 ∖ {𝐵})))‘(𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})))))
2016, 19mpbird 247 1 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∃*wmo 2609   ∖ cdif 3713   ⊆ wss 3716  {csn 4322   ↾ cres 5269  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  ℂcc 10147   ↾t crest 16304  TopOpenctopn 16305  ℂfldccnfld 19969  neicnei 21124  limPtclp 21161  Hauscha 21335  Filcfil 21871   fLimf cflf 21961   limℂ climc 23846 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-icc 12396  df-fz 12541  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-rest 16306  df-topn 16307  df-topgen 16327  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-limc 23850 This theorem is referenced by:  perfdvf  23887  ellimciota  40368
 Copyright terms: Public domain W3C validator