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Theorem limclner 40201
Description: For a limit point, both from the left and from the right, of the domain, the limit of the function exits only if the left and the right limits are equal. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limclner.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limclner.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limclner.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
limclner.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limclner.blp1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
limclner.blp2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
limclner.l (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
limclner.r (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
limclner.lner (𝜑𝐿𝑅)
Assertion
Ref Expression
limclner (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)

Proof of Theorem limclner
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl 23684 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
2 limclner.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵))
31, 2sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
43ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
5 limccl 23684 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ⊆ ℂ
6 limclner.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵))
75, 6sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
87ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
94, 8subcld 10430 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
10 limclner.lner . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿𝑅)
1110necomd 2878 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐿)
1211ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 𝑅𝐿)
134, 8, 12subne0d 10439 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ≠ 0)
149, 13absrpcld 14231 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
15 4re 11135 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℝ
16 4pos 11154 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
1715, 16elrpii 11873 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ+)
1914, 18rpdivcld 11927 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+)
20 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑦(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
21 nfra1 2970 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)
2220, 21nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑦((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
23 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑦(((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2422, 23nfim 1865 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
25 ovex 6718 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ V
26 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+))
27 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (4 · 𝑦) = (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
2827breq2d 4697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
29282rexbidv 3086 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
3026, 29imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)) ↔ (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))))
3130imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) → ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))) ↔ (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))))
32 simpll 805 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝜑𝑥 ∈ ℂ))
33 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
34 rspa 2959 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
3534adantll 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
36 limclner.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
37 fresin 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)):(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))⟶ℂ)
39 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ (-∞(,)𝐵)
40 ioosscn 40034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℂ
4139, 40sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℂ)
43 limclner.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝐽 = (topGen‘ran (,))
44 retop 22612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4543, 44eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐽 ∈ Top
46 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-∞(,)𝐵) ⊆ ℝ
4739, 46sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ
48 uniretop 22613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℝ = (topGen‘ran (,))
4943unieqi 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5048, 49eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ℝ = 𝐽
5150lpss 20994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ)
5245, 47, 51mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ℝ
53 limclner.blp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
5452, 53sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5554recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5638, 42, 55ellimc3 23688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵)) lim 𝐵) ↔ (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))))
576, 56mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
5857simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
5958r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
60593ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
61 simp11l 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
62 simp12 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
63 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
64 ifcl 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
65643adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+)
66 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
68 limclner.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
6968cnfldtop 22634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝐾 ∈ Top
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐾 ∈ Top)
71 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℝ ⊆ ℂ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7347a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ)
74 unicntop 22636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
7568unieqi 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
7674, 75eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ℂ = 𝐾
7768tgioo2 22653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (topGen‘ran (,)) = (𝐾t ℝ)
7843, 77eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝐽 = (𝐾t ℝ)
7976, 78restlp 21035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
8070, 72, 73, 79syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ∩ ℝ))
8168eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (TopOpen‘ℂfld) = 𝐾
8281fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐾)
8382fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
8567, 80, 843sstr4d 3681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
8685, 53sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))))
8742, 55islpcn 40189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢))
8886, 87mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
89883ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢)
90 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
9190rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
9291rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑢) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
9365, 89, 92syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
94 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
9547, 94sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎 ∈ ℝ)
9672sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℂ)
9755adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9896, 97subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑎𝐵) ∈ ℂ)
9998abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
100993ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) ∈ ℝ)
10265rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
103102ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
104 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
1051043ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
106105ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
107 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
108 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ)
109 min1 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
110104, 108, 109syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
1111103adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
112111ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
113101, 103, 106, 107, 112ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
114108adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑣 ∈ ℝ)
1151143adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑣 ∈ ℝ)
116115ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
117 min2 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
118104, 108, 117syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
1191183adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
120119ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
121101, 103, 116, 107, 120ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)
122113, 121jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
123122ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
12495, 123sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
125124reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑎𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
12693, 125mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
12761, 62, 63, 126syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
128 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
129 nfre1 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑎𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
130 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ⊆ 𝐴
131130, 94sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐴)
1321313ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐴)
133 simp113 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
134 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → 𝑎𝐵)
135134adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎𝐵)
136 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)
137135, 136jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
1381373adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
139 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤𝐵𝑎𝐵))
140 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤𝐵) = (𝑎𝐵))
141140fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑎 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑎𝐵)))
142141breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧))
143139, 142anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)))
144 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑎 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑎))
145144oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑎 → ((𝐹𝑤) − 𝑥) = ((𝐹𝑎) − 𝑥))
146145fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) = (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)))
147146breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
148143, 147imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)))
149148rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦))
150149imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
151132, 133, 138, 150syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
152943ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)))
153613ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
154 simp13 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
155 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑤𝜑
156 nfra1 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
157155, 156nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
158 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → 𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵))
159 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 ∈ (-∞(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
161160eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤))
162161oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝐹𝑤) − 𝐿) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿))
163162fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
1641633ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)))
165 rspa 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
1661653impia 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
1671663adant1l 1358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
168164, 167eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)
1691683exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)))
170157, 169ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
171153, 154, 170syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦))
172134anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
173172adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
1741733adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
175141breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣))
176139, 175anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)))
177144oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 = 𝑎 → ((𝐹𝑤) − 𝐿) = ((𝐹𝑎) − 𝐿))
178177fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 = 𝑎 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) = (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)))
179178breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 = 𝑎 → ((abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
180176, 179imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 𝑎 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) ↔ ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
181180rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
182181imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ (𝑎𝐵 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
183152, 171, 174, 182syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
184 rspe 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑎𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
185132, 151, 183, 184syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
1861853exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
187128, 129, 186rexlimd 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑎 ∈ ((𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑎𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
188127, 187mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
1891883exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
190189rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (-∞(,)𝐵))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (-∞(,)𝐵))‘𝑤) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
19160, 190mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
1921913exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))))
193192rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)))
194193imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
195194adantllr 755 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦))
196 fresin 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐹:𝐴⟶ℂ → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
19736, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)):(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))⟶ℂ)
198 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ (𝐵(,)+∞)
199 ioosscn 40034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℂ
200198, 199sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℂ)
202197, 201, 55ellimc3 23688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞)) lim 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))))
2032, 202mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
204203simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
205204r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
2062053ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
207 simp11l 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
208 simp12 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
209 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
210 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ) ⊆ ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
212 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐵(,)+∞) ⊆ ℝ
213198, 212sstri 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ
214213a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ)
21576, 78restlp 21035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ ℝ) → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
21670, 72, 214, 215syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = (((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ∩ ℝ))
21782fveq1i 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
218217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) = ((limPt‘𝐾)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
219211, 216, 2183sstr4d 3681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ⊆ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
220 limclner.blp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
221219, 220sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))))
222201, 55islpcn 40189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) ↔ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢))
223221, 222mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
2242233ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢)
225 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
226225rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢 ↔ ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)))
227226rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑢) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
22865, 224, 227syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
229 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
230213, 229sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏 ∈ ℝ)
23172sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℂ)
23255adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
233231, 232subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (𝑏𝐵) ∈ ℂ)
234233abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
2352343ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
236235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) ∈ ℝ)
237102ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ∈ ℝ)
238105ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
239 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣))
240111ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑧)
241236, 237, 238, 239, 240ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
242115ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ)
243238, 242, 117syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) ≤ 𝑣)
244236, 237, 242, 239, 243ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)
245241, 244jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣)) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
246245ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
247230, 246sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
248247reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})(abs‘(𝑏𝐵)) < if(𝑧𝑣, 𝑧, 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
249228, 248mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
250207, 208, 209, 249syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
251 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑏(((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
252 nfre1 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑏𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
253 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ⊆ 𝐴
254253, 229sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐴)
2552543ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐴)
256 simp113 1212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
257 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → 𝑏𝐵)
258257adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏𝐵)
259 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)
260258, 259jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
2612603adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
262 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤𝐵𝑏𝐵))
263 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤𝐵) = (𝑏𝐵))
264263fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 = 𝑏 → (abs‘(𝑤𝐵)) = (abs‘(𝑏𝐵)))
265264breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧))
266262, 265anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)))
267 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑤 = 𝑏 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑏))
268267oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹𝑤) − 𝑥) = ((𝐹𝑏) − 𝑥))
269268fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 = 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) = (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)))
270269breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
271266, 270imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)))
272271rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦))
273272imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
274255, 256, 261, 273syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
2752293ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)))
2762073ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → 𝜑)
277 simp13 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
278 nfra1 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑤𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
279155, 278nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑤(𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
280 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → 𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞))
281 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑤 ∈ (𝐵(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
282280, 281syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) = (𝐹𝑤))
283282eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (𝐹𝑤) = ((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤))
284283oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝐹𝑤) − 𝑅) = (((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅))
285284fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
2862853ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)))
287 rspa 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
2882873impia 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
2892883adant1l 1358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
290286, 289eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)
2912903exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)))
292279, 291ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
293276, 277, 292syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦))
294257anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
295294adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
2962953adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
297264breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣))
298262, 297anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) ↔ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)))
299267oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑤 = 𝑏 → ((𝐹𝑤) − 𝑅) = ((𝐹𝑏) − 𝑅))
300299fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑤 = 𝑏 → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) = (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)))
301300breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑤 = 𝑏 → ((abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
302298, 301imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) ↔ ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
303302rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
304303imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ (𝑏𝐵 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
305275, 293, 296, 304syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
306 rspe 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏𝐴 ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
307255, 274, 305, 306syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) ∧ 𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) ∧ ((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
3083073exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵}) → (((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
309251, 252, 308rexlimd 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → (∃𝑏 ∈ ((𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞)) ∖ {𝐵})((abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑏𝐵)) < 𝑣) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
310250, 309mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
3113103exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑣 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
312311rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵(,)+∞))((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑣) → (abs‘(((𝐹 ↾ (𝐵(,)+∞))‘𝑤) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
313206, 312mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
3143133exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))))
315314rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)))
316315imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
317316adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
318317ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦))
3193ad6antr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑅 ∈ ℂ)
3207ad6antr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝐿 ∈ ℂ)
321319, 320subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅𝐿) ∈ ℂ)
322321abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
323 simp-6l 827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝜑)
324 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑏𝐴)
32536ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑏𝐴) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
326323, 324, 325syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑏) ∈ ℂ)
327319, 326subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑅 − (𝐹𝑏)) ∈ ℂ)
328327abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) ∈ ℝ)
329 simp-6r 828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
330326, 329subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑏) − 𝑥) ∈ ℂ)
331330abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) ∈ ℝ)
332328, 331readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) ∈ ℝ)
333 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑎𝐴)
33436ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
335323, 333, 334syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
336329, 335subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (𝑥 − (𝐹𝑎)) ∈ ℂ)
337336abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) ∈ ℝ)
338332, 337readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) ∈ ℝ)
339335, 320subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((𝐹𝑎) − 𝐿) ∈ ℂ)
340339abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) ∈ ℝ)
341338, 340readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) ∈ ℝ)
34215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 4 ∈ ℝ)
343 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
344343ad5antlr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
345342, 344remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (4 · 𝑦) ∈ ℝ)
346319, 326, 329, 335, 320absnpncan3d 39835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ≤ ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))))
347319, 326abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) = (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)))
348 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)
349347, 348eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) < 𝑦)
350 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦)
351 simp-5r 826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
352 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝜑)
353 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → 𝑎𝐴)
354352, 353, 334syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
355354adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (𝐹𝑎) ∈ ℂ)
356351, 355abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) = (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)))
357 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦)
358356, 357eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
359358adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎))) < 𝑦)
360 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
361360adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)
362328, 331, 337, 340, 344, 349, 350, 359, 361lt4addmuld 39834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → ((((abs‘(𝑅 − (𝐹𝑏))) + (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥))) + (abs‘(𝑥 − (𝐹𝑎)))) + (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿))) < (4 · 𝑦))
363322, 341, 345, 346, 362lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
364363ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
365364adantlllr 39513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) ∧ 𝑏𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
366365reximdva 3046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → (∃𝑏𝐴 ((abs‘((𝐹𝑏) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑏) − 𝑅)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
367318, 366mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) ∧ ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦)) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
368367ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑎𝐴) → (((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
369368reximdva 3046 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎𝐴 ((abs‘((𝐹𝑎) − 𝑥)) < 𝑦 ∧ (abs‘((𝐹𝑎) − 𝐿)) < 𝑦) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
370195, 369mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
37132, 33, 35, 370syl21anc 1365 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦))
372371ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · 𝑦)))
37324, 25, 31, 372vtoclf 3289 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (((abs‘(𝑅𝐿)) / 4) ∈ ℝ+ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))))
37419, 373mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
375 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)))
376 abssubrp 39801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑅𝐿) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
3773, 7, 11, 376syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ+)
378377rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
379378adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℂ)
380 4cn 11136 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℂ
381380a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ∈ ℂ)
382 4ne0 11155 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ≠ 0
383382a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → 4 ≠ 0)
384379, 381, 383divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) = (abs‘(𝑅𝐿)))
385375, 384breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4))) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
386385ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
387386a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
388387ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → ((abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))))
389388rexlimdvv 3066 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (∃𝑎𝐴𝑏𝐴 (abs‘(𝑅𝐿)) < (4 · ((abs‘(𝑅𝐿)) / 4)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿))))
390374, 389mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
3919abscld 14219 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → (abs‘(𝑅𝐿)) ∈ ℝ)
392391ltnrd 10209 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) → ¬ (abs‘(𝑅𝐿)) < (abs‘(𝑅𝐿)))
393390, 392pm2.65da 599 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))
394393ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
395 imnan 437 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ → ¬ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
396394, 395sylib 208 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦)))
397 limclner.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
398397, 72sstrd 3646 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
39936, 398, 55ellimc3 23688 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤𝐵 ∧ (abs‘(𝑤𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑤) − 𝑥)) < 𝑦))))
400396, 399mtbird 314 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
401400eq0rdv 4012 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  {csn 4210   cuni 4468   class class class wbr 4685  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  4c4 11110  +crp 11870  (,)cioo 12213  abscabs 14018  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  Topctop 20746  limPtclp 20986   lim climc 23671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675
This theorem is referenced by:  limclr  40205  jumpncnp  40429
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