Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limciccioolb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limciccioolb 40356
Description: The limit of a function at the lower bound of a closed interval only depends on the values in the inner open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
limciccioolb.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
limciccioolb.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
limciccioolb.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
limciccioolb.4 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limciccioolb (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))

Proof of Theorem limciccioolb
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limciccioolb.4 . 2 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
2 ioossicc 12452 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4 limciccioolb.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 limciccioolb.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
64, 5iccssred 40230 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7 ax-resscn 10185 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
86, 7syl6ss 3756 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
9 eqid 2760 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
10 eqid 2760 . 2 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
11 retop 22766 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
135rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
14 icossre 12447 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
154, 13, 14syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ ℝ)
16 difssd 3881 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ ℝ)
1715, 16unssd 3932 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ ℝ)
18 uniretop 22767 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
1917, 18syl6sseq 3792 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)))
20 elioore 12398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
2120ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
22 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑥)
23 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵))
24 mnfxr 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
2613adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
27 elioo2 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2825, 26, 27syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2923, 28mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝑥𝑥 < 𝐵))
3029simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 < 𝐵)
324ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ)
3313ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
34 elico2 12430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
3532, 33, 34syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
3621, 22, 31, 35mpbir3and 1428 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵))
3736orcd 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
3820ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
39 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → ¬ 𝐴𝑥)
4039intnanrd 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵))
414rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4241ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4313ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4438rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45 elicc4 12433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4740, 46mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4838, 47eldifd 3726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))
4948olcd 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) ∧ ¬ 𝐴𝑥) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5037, 49pm2.61dan 867 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
51 elun 3896 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∨ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5250, 51sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5352ralrimiva 3104 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
54 dfss3 3733 . . . . . . . . 9 ((-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ↔ ∀𝑥 ∈ (-∞(,)𝐵)𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
5553, 54sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))))
56 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
5756ntrss 21061 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵))) ⊆ (topGen‘ran (,)) ∧ (-∞(,)𝐵) ⊆ ((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5812, 19, 55, 57syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
5924a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
604mnfltd 12151 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -∞ < 𝐴)
61 limciccioolb.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6259, 13, 4, 60, 61eliood 40223 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (-∞(,)𝐵))
63 iooretop 22770 . . . . . . . . . 10 (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
6463a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
65 isopn3i 21088 . . . . . . . . 9 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
6612, 64, 65syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)) = (-∞(,)𝐵))
6762, 66eleqtrrd 2842 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)𝐵)))
6858, 67sseldd 3745 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))))
694leidd 10786 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐴)
704, 5, 61ltled 10377 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
714, 5, 4, 69, 70eliccd 40229 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7268, 71elind 3941 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
73 icossicc 12453 . . . . . . 7 (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7473a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
75 eqid 2760 . . . . . . 7 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
7618, 75restntr 21188 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)) → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7712, 6, 74, 76syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = (((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝐴[,)𝐵) ∪ (ℝ ∖ (𝐴[,]𝐵)))) ∩ (𝐴[,]𝐵)))
7872, 77eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
79 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
809, 79rerest 22808 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
816, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
8281eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
8382fveq2d 6356 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))))
8483fveq1d 6354 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
8578, 84eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)))
8671snssd 4485 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
87 ssequn2 3929 . . . . . . . 8 ({𝐴} ⊆ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
8886, 87sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,]𝐵))
8988eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))
9089oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))
9190fveq2d 6356 . . . 4 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴}))))
92 uncom 3900 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵))
93 snunioo 12491 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
9441, 13, 61, 93syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴} ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
9592, 94syl5req 2807 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,)𝐵) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
9691, 95fveq12d 6358 . . 3 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴[,]𝐵)))‘(𝐴[,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
9785, 96eleqtrd 2841 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴[,]𝐵) ∪ {𝐴})))‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴})))
981, 3, 8, 9, 10, 97limcres 23849 1 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  {csn 4321   cuni 4588   class class class wbr 4804  ran crn 5267  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  -∞cmnf 10264  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  (,)cioo 12368  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  t crest 16283  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  fldccnfld 19948  Topctop 20900  intcnt 21023   lim climc 23825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-cnp 21234  df-xms 22326  df-ms 22327  df-limc 23829
This theorem is referenced by:  cncfiooicclem1  40609  fourierdlem82  40908  fourierdlem93  40919  fourierdlem111  40937
  Copyright terms: Public domain W3C validator