MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcflf 23844
Description: The limit operator can be expressed as a filter limit, from the filter of neighborhoods of 𝐵 restricted to 𝐴 ∖ {𝐵}, to the topology of the complex numbers. (If 𝐵 is not a limit point of 𝐴, then it is still formally a filter limit, but the neighborhood filter is not a proper filter in this case.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcflf.b (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
limcflf.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limcflf.c 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
limcflf.l 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
Assertion
Ref Expression
limcflf (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)))

Proof of Theorem limcflf
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3343 . . . . . . . . . . 11 𝑡 ∈ V
21inex1 4951 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝐶) ∈ V
32rgenw 3062 . . . . . . . . 9 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡𝐶) ∈ V
4 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)) = (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))
5 imaeq2 5620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑡𝐶) → ((𝐹𝐶) “ 𝑠) = ((𝐹𝐶) “ (𝑡𝐶)))
6 inss2 3977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡𝐶) ⊆ 𝐶
7 resima2 5590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝐶) ⊆ 𝐶 → ((𝐹𝐶) “ (𝑡𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝐶) “ (𝑡𝐶)) = (𝐹 “ (𝑡𝐶))
95, 8syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝑡𝐶) → ((𝐹𝐶) “ 𝑠) = (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
109sseq1d 3773 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝑡𝐶) → (((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
114, 10rexrnmpt 6532 . . . . . . . . 9 (∀𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝑡𝐶) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
123, 11mp1i 13 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
13 limcflf.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶)
14 fvex 6362 . . . . . . . . . . 11 ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V
15 limcflf.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵})
16 difss 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
1715, 16eqsstri 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶𝐴
18 limcflf.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1917, 18syl5ss 3755 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ⊆ ℂ)
20 cnex 10209 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ∈ V
2120ssex 4954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ⊆ ℂ → 𝐶 ∈ V)
2219, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ V)
2322ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → 𝐶 ∈ V)
24 restval 16289 . . . . . . . . . . 11 ((((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)))
2514, 23, 24sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↾t 𝐶) = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)))
2613, 25syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → 𝐿 = ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶)))
2726rexeqdv 3284 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑠 ∈ ran (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↦ (𝑡𝐶))((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
28 limcflf.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
2928cnfldtop 22788 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ Top
30 opnneip 21125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤𝐾𝐵𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
3129, 30mp3an1 1560 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐾𝐵𝑤) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑤𝑡 = 𝑤)
3315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑤𝐶 = (𝐴 ∖ {𝐵}))
3432, 33ineq12d 3958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑤 → (𝑡𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
3534imaeq2d 5624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑤 → (𝐹 “ (𝑡𝐶)) = (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
3635sseq1d 3773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑤 → ((𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
3736rspcev 3449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
3831, 37sylan 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤𝐾𝐵𝑤) ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
3938anasss 682 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐾 ∧ (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
4039rexlimiva 3166 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) → ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
41 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}))
4228cnfldtopon 22787 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4342toponunii 20923 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ = 𝐾
4443neii1 21112 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})) → 𝑡 ⊆ ℂ)
4529, 41, 44sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝑡 ⊆ ℂ)
4643ntropn 21055 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
4729, 45, 46sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾)
4829a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐾 ∈ Top)
4943lpss 21148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
5029, 18, 49sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((limPt‘𝐾)‘𝐴) ⊆ ℂ)
51 limcflf.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
5250, 51sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5352snssd 4485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
5453ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
5543neiint 21110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℂ ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
5648, 54, 45, 55syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
5741, 56mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡))
5852ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ℂ)
59 snssg 4459 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ↔ {𝐵} ⊆ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
6157, 60mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → 𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡))
6243ntrss2 21063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑡 ⊆ ℂ) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
6329, 45, 62sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡)
64 ssrin 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (((int‘𝐾)‘𝑡) ⊆ 𝑡 → (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡𝐶))
65 imass2 5659 . . . . . . . . . . . . 13 ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶) ⊆ (𝑡𝐶) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ (𝐹 “ (𝑡𝐶)))
67 simprr 813 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)
6866, 67sstrd 3754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)
69 eleq2 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐵𝑤𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡)))
7015ineq2i 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶) = (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))
71 ineq1 3950 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤𝐶) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
7270, 71syl5eqr 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶))
7372imaeq2d 5624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) = (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)))
7473sseq1d 3773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢 ↔ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢))
7569, 74anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = ((int‘𝐾)‘𝑡) → ((𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)))
7675rspcev 3449 . . . . . . . . . . 11 ((((int‘𝐾)‘𝑡) ∈ 𝐾 ∧ (𝐵 ∈ ((int‘𝐾)‘𝑡) ∧ (𝐹 “ (((int‘𝐾)‘𝑡) ∩ 𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
7747, 61, 68, 76syl12anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) ∧ (𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵}) ∧ (𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))
7877rexlimdvaa 3170 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))
7940, 78impbid2 216 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑡 ∈ ((nei‘𝐾)‘{𝐵})(𝐹 “ (𝑡𝐶)) ⊆ 𝑢))
8012, 27, 793bitr4rd 301 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑢𝐾𝑥𝑢)) → (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
8180anassrs 683 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢𝐾) ∧ 𝑥𝑢) → (∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢) ↔ ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))
8281pm5.74da 725 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑢𝐾) → ((𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
8382ralbidva 3123 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢)))
8483pm5.32da 676 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢))) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
85 limcflf.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
8685, 18, 52, 28ellimc2 23840 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑤𝐾 (𝐵𝑤 ∧ (𝐹 “ (𝑤 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ⊆ 𝑢)))))
8742a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
8885, 18, 51, 28, 15, 13limcflflem 23843 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (Fil‘𝐶))
89 fssres 6231 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
9085, 17, 89sylancl 697 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ)
91 isflf 21998 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝐶) ∧ (𝐹𝐶):𝐶⟶ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
9287, 88, 90, 91syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑢𝐾 (𝑥𝑢 → ∃𝑠𝐿 ((𝐹𝐶) “ 𝑠) ⊆ 𝑢))))
9384, 86, 923bitr4d 300 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶))))
9493eqrdv 2758 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐾 fLimf 𝐿)‘(𝐹𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  {csn 4321  cmpt 4881  ran crn 5267  cres 5268  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  t crest 16283  TopOpenctopn 16284  fldccnfld 19948  Topctop 20900  TopOnctopon 20917  intcnt 21023  neicnei 21103  limPtclp 21140  Filcfil 21850   fLimf cflf 21940   lim climc 23825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-cnp 21234  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-limc 23829
This theorem is referenced by:  limcmo  23845
  Copyright terms: Public domain W3C validator