Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limcdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limcdif 23685
 Description: It suffices to consider functions which are not defined at 𝐵 to define the limit of a function. In particular, the value of the original function 𝐹 at 𝐵 does not affect the limit of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limccl.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcdif (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))

Proof of Theorem limcdif
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccl.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
2 fdm 6089 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → dom 𝐹 = 𝐴)
5 limcrcl 23683 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
76simp2d 1094 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
84, 7eqsstr3d 3673 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
96simp3d 1095 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
108, 9jca 553 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1110ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
12 undif1 4076 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵})
13 difss 3770 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴
14 fssres 6108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
151, 13, 14sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
16 fdm 6089 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) = (𝐴 ∖ {𝐵}))
19 limcrcl 23683 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2019adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))⟶ℂ ∧ dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2120simp2d 1094 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → dom (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ ℂ)
2218, 21eqsstr3d 3673 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2320simp3d 1095 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2423snssd 4372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → {𝐵} ⊆ ℂ)
2522, 24unssd 3822 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2612, 25syl5eqssr 3683 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
2726unssad 3823 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2827, 23jca 553 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
2928ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) → (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)))
30 eqid 2651 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
31 eqid 2651 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
331adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34 simprl 809 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
35 simprr 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3630, 31, 32, 33, 34, 35ellimc 23682 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
3712eqcomi 2660 . . . . . . 7 (𝐴 ∪ {𝐵}) = ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵})
3837oveq2i 6701 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}))
39 eqid 2651 . . . . . . . 8 if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))
4037, 39mpteq12i 4775 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
41 elun 3786 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}))
42 velsn 4226 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {𝐵} ↔ 𝑧 = 𝐵)
4342orbi2i 540 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵))
44 pm5.61 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵))
45 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4744, 46sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) ∧ ¬ 𝑧 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4847ifeq2da 4150 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 = 𝐵) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
4943, 48sylbi 207 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ∨ 𝑧 ∈ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
5041, 49sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) → if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)) = if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
5150mpteq2ia 4773 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧)))
5240, 51eqtr4i 2676 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵}))‘𝑧)))
5315adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})):(𝐴 ∖ {𝐵})⟶ℂ)
5434ssdifssd 3781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ⊆ ℂ)
5538, 31, 52, 53, 54, 35ellimc 23682 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝑥, (𝐹𝑧))) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝐵)))
5636, 55bitr4d 271 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)))
5756ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))))
5811, 29, 57pm5.21ndd 368 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵)))
5958eqrdv 2649 1 (𝜑 → (𝐹 lim 𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐴 ∖ {𝐵})) lim 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ℂfldccnfld 19794   CnP ccnp 21077   limℂ climc 23671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675 This theorem is referenced by:  dvcnp2  23728  dvmulbr  23747  dvrec  23763  fourierdlem62  40703
 Copyright terms: Public domain W3C validator