MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limccnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limccnp 23875
Description: If the limit of 𝐹 at 𝐵 is 𝐶 and 𝐺 is continuous at 𝐶, then the limit of 𝐺𝐹 at 𝐵 is 𝐺(𝐶). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
limccnp.d (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
limccnp.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
limccnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
limccnp.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limccnp.b (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
limccnp (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))

Proof of Theorem limccnp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
2 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
32cnprcl 21270 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶) → 𝐶 𝐽)
41, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 𝐽)
5 limccnp.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
6 limccnp.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldtopon 22806 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
8 limccnp.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
9 resttopon 21186 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
107, 8, 9sylancr 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
115, 10syl5eqel 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷))
12 toponuni 20939 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) → 𝐷 = 𝐽)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 = 𝐽)
144, 13eleqtrrd 2853 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐷)
1514ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶𝐷)
16 limccnp.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
1716ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐷)
18 elun 3904 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝐵}))
19 elsni 4334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
2019orim2i 896 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝐵}) → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐵))
2118, 20sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐵))
2221adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝑥𝐴𝑥 = 𝐵))
2322orcomd 860 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝑥 = 𝐵𝑥𝐴))
2423orcanai 987 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐴)
2517, 24ffvelrnd 6505 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
2615, 25ifclda 4260 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)) ∈ 𝐷)
27 eqidd 2772 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))))
287a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
29 cnpf2 21275 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
3011, 28, 1, 29syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℂ)
3130feqmptd 6393 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑦𝐷 ↦ (𝐺𝑦)))
32 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑦 = if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))))
3326, 27, 31, 32fmptco 6542 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))))
34 fvco3 6419 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴𝐷𝑥𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3517, 24, 34syl2anc 573 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐺𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3635ifeq2da 4257 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), (𝐺‘(𝐹𝑥))))
37 fvif 6347 . . . . . 6 (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3836, 37syl6eqr 2823 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥)) = (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))))
3938mpteq2dva 4879 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐺‘if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))))
4033, 39eqtr4d 2808 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))))
41 limccnp.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
42 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
43 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))
4416, 8fssd 6198 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
4516fdmd 6193 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
46 limcrcl 23858 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4847simp2d 1137 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
4945, 48eqsstr3d 3789 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
5047simp3d 1138 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5142, 6, 43, 44, 49, 50ellimc 23857 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
5241, 51mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
536cnfldtop 22807 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ Top
5453a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Top)
5526fmpttd 6530 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶𝐷)
5650snssd 4476 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℂ)
5749, 56unssd 3940 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ)
58 resttopon 21186 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴 ∪ {𝐵}) ⊆ ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
597, 57, 58sylancr 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})))
60 toponuni 20939 . . . . . . . . . 10 ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) ∈ (TopOn‘(𝐴 ∪ {𝐵})) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})))
6261feq2d 6170 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))):(𝐴 ∪ {𝐵})⟶𝐷 ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))): (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))⟶𝐷))
6355, 62mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))): (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))⟶𝐷)
64 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
657toponunii 20941 . . . . . . . 8 ℂ = 𝐾
6664, 65cnprest2 21315 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))): (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))⟶𝐷𝐷 ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵)))
6754, 63, 8, 66syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵)))
6852, 67mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵))
695oveq2i 6807 . . . . . 6 ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))
7069fveq1i 6334 . . . . 5 (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽)‘𝐵) = (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP (𝐾t 𝐷))‘𝐵)
7168, 70syl6eleqr 2861 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽)‘𝐵))
72 ssun2 3928 . . . . . . . 8 {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})
73 snssg 4451 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
7450, 73syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↔ {𝐵} ⊆ (𝐴 ∪ {𝐵})))
7572, 74mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}))
76 iftrue 4232 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)) = 𝐶)
7776, 43fvmptg 6424 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ 𝐶𝐷) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵) = 𝐶)
7875, 14, 77syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵) = 𝐶)
7978fveq2d 6337 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵)) = ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
801, 79eleqtrrd 2853 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵)))
81 cnpco 21292 . . . 4 (((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐽)‘𝐵) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))‘𝐵))) → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
8271, 80, 81syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∘ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐶, (𝐹𝑥)))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
8340, 82eqeltrrd 2851 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
84 eqid 2771 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥)))
85 fco 6199 . . . 4 ((𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴𝐷) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
8630, 16, 85syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
8742, 6, 84, 86, 49, 50ellimc 23857 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐺𝐶), ((𝐺𝐹)‘𝑥))) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
8883, 87mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cun 3721  wss 3723  ifcif 4226  {csn 4317   cuni 4575  cmpt 4864  dom cdm 5250  ccom 5254  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  fldccnfld 19961  Topctop 20918  TopOnctopon 20935   CnP ccnp 21250   lim climc 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-rest 16291  df-topn 16292  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cnp 21253  df-xms 22345  df-ms 22346  df-limc 23850
This theorem is referenced by:  limcco  23877  dvcjbr  23932  dvcnvlem  23959
  Copyright terms: Public domain W3C validator