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Theorem lighneallem4a 42035
Description: Lemma 1 for lighneallem4 42037. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem4a ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)

Proof of Theorem lighneallem4a
StepHypRef Expression
1 2re 11282 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
3 eluzelre 11890 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 peano2re 10401 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
62, 5remulcld 10262 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
76adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
8 eluzge2nn0 11920 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
98adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10 eluzge3nn 11923 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℕ)
1110nnnn0d 11543 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℕ0)
1211adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
139, 12nn0expcld 13225 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11544 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ∈ ℝ)
15 peano2re 10401 . . . . . 6 ((𝐴𝑀) ∈ ℝ → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ)
172, 3remulcld 10262 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
182, 17remulcld 10262 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
1918adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
20 1red 10247 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
21 eluz2nn 11919 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2221nnge1d 11255 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ 𝐴)
2320, 3, 3, 22leadd2dd 10834 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (𝐴 + 𝐴))
24 eluzelcn 11891 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25242timesd 11467 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2623, 25breqtrrd 4832 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
2726adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴))
28 2pos 11304 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
291, 28pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
315, 17, 303jca 1123 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
3231adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)))
33 lemul2 11068 . . . . . . . 8 (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ≤ (2 · 𝐴) ↔ (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴))))
3527, 34mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (2 · (2 · 𝐴)))
36 2cn 11283 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ∈ ℂ)
3824adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3937, 37, 38mulassd 10255 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) = (2 · (2 · 𝐴)))
40 sq2 13154 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
41 4re 11289 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
4240, 41eqeltri 2835 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ∈ ℝ)
44 nn0sqcl 13081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
458, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11544 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4746adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
48 nnm1nn0 11526 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
4910, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
5049adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
519, 50nn0expcld 13225 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
5251nn0red 11544 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
53 2nn0 11501 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
552, 3, 543jca 1123 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
5655adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0))
57 0le2 11303 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 0 ≤ 2)
59 eluzle 11892 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝐴)
6059adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ 𝐴)
61 leexp1a 13113 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 𝐴)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
6256, 58, 60, 61syl12anc 1475 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑2))
63 2p1e3 11343 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 + 1) = 3
64 eluzle 11892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑀)
6563, 64syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (2 + 1) ≤ 𝑀)
66 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℝ)
67 eluzelre 11890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℝ)
68 leaddsub 10696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
691, 66, 67, 68mp3an2i 1578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → ((2 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 2 ≤ (𝑀 − 1)))
7065, 69mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
7170adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ (𝑀 − 1))
723adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ∈ ℝ)
73 2z 11601 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ∈ ℤ)
75 eluzelz 11889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → 𝑀 ∈ ℤ)
76 peano2zm 11612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘3) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7877adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
79 eluz2gt1 11953 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
8079adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < 𝐴)
8172, 74, 78, 80leexp2d 13233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 ≤ (𝑀 − 1) ↔ (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1))))
8271, 81mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
8343, 47, 52, 62, 82letrd 10386 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑2) ≤ (𝐴↑(𝑀 − 1)))
8436sqvali 13137 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = (2 · 2)
8584eqcomi 2769 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = (2↑2)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · 2) = (2↑2))
87 eluz2n0 11921 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ≠ 0)
8887adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐴 ≠ 0)
8975adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑀 ∈ ℤ)
9038, 88, 89expm1d 13212 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴↑(𝑀 − 1)) = ((𝐴𝑀) / 𝐴))
9190eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴𝑀) / 𝐴) = (𝐴↑(𝑀 − 1)))
9283, 86, 913brtr4d 4836 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴))
931, 1remulcli 10246 . . . . . . . . 9 (2 · 2) ∈ ℝ
9421nngt0d 11256 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐴)
953, 94jca 555 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9695adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
97 lemuldiv 11095 . . . . . . . . 9 (((2 · 2) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴)))
9893, 14, 96, 97mp3an2i 1578 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀) ↔ (2 · 2) ≤ ((𝐴𝑀) / 𝐴)))
9992, 98mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · 2) · 𝐴) ≤ (𝐴𝑀))
10039, 99eqbrtrrd 4828 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (2 · 𝐴)) ≤ (𝐴𝑀))
1017, 19, 14, 35, 100letrd 10386 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝐴𝑀))
10214lep1d 11147 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (𝐴𝑀) ≤ ((𝐴𝑀) + 1))
1037, 14, 16, 101, 102letrd 10386 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → (2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1))
104 nnnn0 11491 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
105 nn0p1gt0 11514 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐴 + 1))
10621, 104, 1053syl 18 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝐴 + 1))
1075, 106jca 555 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
108107adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1)))
109 lemuldiv 11095 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝑀) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 1))) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
1101, 16, 108, 109mp3an2i 1578 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → ((2 · (𝐴 + 1)) ≤ ((𝐴𝑀) + 1) ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
111103, 110mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3)) → 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
1121113adant3 1127 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)))
113 breq2 4808 . . 3 (𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1)) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
1141133ad2ant3 1130 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → (2 ≤ 𝑆 ↔ 2 ≤ (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))))
115112, 114mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑆 = (((𝐴𝑀) + 1) / (𝐴 + 1))) → 2 ≤ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  cexp 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055
This theorem is referenced by:  lighneallem4b  42036
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