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Theorem lighneallem3 40853
Description: Lemma 3 for lighneal 40857. (Contributed by AV, 11-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneallem3 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)

Proof of Theorem lighneallem3
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = (2↑1))
2 2cn 11051 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
3 exp1 12822 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑1) = 2
51, 4syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (2↑𝑁) = 2)
65oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = (2 − 1))
7 2m1e1 11095 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
86, 7syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
98adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → ((2↑𝑁) − 1) = 1)
109eqeq1d 2623 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ 1 = (𝑃𝑀)))
11 eldifi 3716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
12 prmnn 15331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
13 nnnn0 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ0)
1514nn0zd 11440 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
16 iddvdsexp 14948 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
1715, 16sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
18 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . 13 (1 = (𝑃𝑀) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝑀)))
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝑀)))
20 dvds1 14984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 ↔ 𝑃 = 1))
22 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
23 1nprm 15335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 1 ∈ ℙ
2423pm2.21i 116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℙ → 𝑀 = 1)
2522, 24syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → 𝑀 = 1))
2611, 25syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 = 1 → 𝑀 = 1))
2721, 26sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
2827ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ 1 → 𝑀 = 1))
2919, 28sylbird 250 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 = (𝑃𝑀)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3029ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃𝑀) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
3117, 30mpid 44 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (1 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3231adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (1 = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3310, 32sylbid 230 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
3433ex 450 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
3534com23 86 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))
3635a1d 25 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
37363adant3 1079 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
38373imp 1254 . 2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
39 neqne 2798 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = 1 → 𝑁 ≠ 1)
4039anim2i 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
41 eluz2b3 11722 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
4240, 41sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
43 oddge22np1 15016 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
45443ad2antl3 1223 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁))
46 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → (2↑𝑁) = (2↑((2 · 𝑗) + 1)))
4746oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = ((2 · 𝑗) + 1) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
4847eqcoms 2629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → ((2↑𝑁) − 1) = ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1))
492a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
50 2nn0 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℕ0
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
52 nnnn0 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
5351, 52nn0mulcld 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ0)
5449, 53expp1d 12965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = ((2↑(2 · 𝑗)) · 2))
5551, 53nn0expcld 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℕ0)
5655nn0cnd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
5756, 49mulcomd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) · 2) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
5854, 57eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑗) + 1)) = (2 · (2↑(2 · 𝑗))))
5958oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1))
60 npcan1 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1) = (2↑(2 · 𝑗)))
6261eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) = (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1))
6362oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)))
64 peano2cnm 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
6556, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
66 1cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6749, 65, 66adddid 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (((2↑(2 · 𝑗)) − 1) + 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
6863, 67eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · (2↑(2 · 𝑗))) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)))
6968oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · (2↑(2 · 𝑗))) − 1) = (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1))
7049, 65mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
71 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
722, 71mulcli 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) ∈ ℂ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℂ)
7470, 73, 66addsubassd 10372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)))
75 2t1e2 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 1) = 2
7675oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
7776, 7eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) − 1) = 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) = 1)
7978oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℕ → ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8074, 79eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 ∈ ℕ → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8159, 69, 803eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ ℕ → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8281ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑((2 · 𝑗) + 1)) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8348, 82sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → ((2↑𝑁) − 1) = ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1))
8483eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
85143ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ0)
86 nnnn0 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
87863ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
8885, 87nn0expcld 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℕ0)
8988nn0cnd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
91 1cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
9270adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ)
9390, 91, 923jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ))
95 subadd2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ∈ ℂ) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀)))
97 nncn 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
9811, 12, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℂ)
99983ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
10099, 87pwm1geoser 14544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑀) − 1) = ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
102101eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
10499ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑃 ∈ ℂ)
105 1cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 1 ∈ ℂ)
106104, 105subcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
107 fzfid 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
10885adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
109 elfznn0 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
110109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
111108, 110nn0expcld 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ0)
112111nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
113107, 112fsumzcl 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ)
114113zcnd 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ)
115114ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ)
116106, 115mulcld 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ∈ ℂ)
11756ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℂ)
118117, 105subcld 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ)
119 2rp 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∈ ℝ+)
121120rpcnne0d 11841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
122 divmul2 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
123116, 118, 121, 122syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ ((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))))
124 div23 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
125106, 115, 121, 124syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
126125eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) ↔ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
12751nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
128 2nn 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
130 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ)
131129, 130nnmulcld 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → (2 · 𝑗) ∈ ℕ)
132 iddvdsexp 14948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
133127, 131, 132syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
134133notnotd 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ ¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)))
13555nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ ℕ → (2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ)
136 oddm1even 15010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2↑(2 · 𝑗)) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (2↑(2 · 𝑗)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
138134, 137mtbid 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
139138ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1))
140 breq2 4627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
141140notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
142141adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ ¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)))
143 fzfid 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
144112ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
145 elnn0 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
146 eldifsn 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
147 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
148147necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≠ 𝑃)
149146, 148sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 ≠ 𝑃)
150149adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 2 ≠ 𝑃)
151150neneqd 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 = 𝑃)
152 2prm 15348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 ∈ ℙ
15311adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
154 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑘 ∈ ℕ)
155 prmdvdsexpb 15371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
156152, 153, 154, 155mp3an2i 1426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 = 𝑃))
157151, 156mtbird 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
158157ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
159 n2dvds1 15047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ¬ 2 ∥ 1
160 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃↑0))
16198exp0d 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃↑0) = 1)
162160, 161sylan9eq 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝑃𝑘) = 1)
163162breq2d 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (2 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 2 ∥ 1))
164159, 163mtbiri 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑘 = 0 ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
165164ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
166158, 165jaoi 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
167145, 166sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
168167, 109syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
1691683ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
170169ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1)) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘)))
171170imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → ¬ 2 ∥ (𝑃𝑘))
172 nnm1nn0 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
173 hashfz0 13175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (#‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → (#‘(0...(𝑀 − 1))) = ((𝑀 − 1) + 1))
175 nncn 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
176 1cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
177175, 176npcand 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
178174, 177eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 = (#‘(0...(𝑀 − 1))))
1791783ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 = (#‘(0...(𝑀 − 1))))
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑀 = (#‘(0...(𝑀 − 1))))
181180breq2d 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (#‘(0...(𝑀 − 1)))))
182181biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (#‘(0...(𝑀 − 1))))
183143, 144, 171, 182evensumodd 15055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))
184183olcd 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
185152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℙ)
186 oddn2prm 15460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
187 oddm1d2 15027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
18815, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ))
189186, 188mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
190189adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
191 fzfid 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (0...(𝑀 − 1)) ∈ Fin)
19214ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
193109adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
194192, 193nn0expcld 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ0)
195194nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))) → (𝑃𝑘) ∈ ℤ)
196191, 195fsumzcl 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ)
197185, 190, 1963jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ))
1981973adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ))
199 euclemma 15368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℙ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘) ∈ ℤ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
201200ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) ↔ (2 ∥ ((𝑃 − 1) / 2) ∨ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘))))
202184, 201mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)))
203202pm2.24d 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) → 𝑀 = 1))
204203adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) → 𝑀 = 1))
205142, 204sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ (((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
206205ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → (¬ 2 ∥ ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1)))
207139, 206mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) / 2) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
208126, 207sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) / 2) = ((2↑(2 · 𝑗)) − 1) → 𝑀 = 1))
209123, 208sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 − 1))(𝑃𝑘)) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
210103, 209sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝑃𝑀) − 1) = (2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) → 𝑀 = 1))
21196, 210sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
212211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2 · ((2↑(2 · 𝑗)) − 1)) + 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
21384, 212sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
214213exp31 629 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑀 → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
215214com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
216215rexlimdva 3026 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
217216com34 91 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
218217adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((2 · 𝑗) + 1) = 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
21945, 218sylbid 230 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (2 ∥ 𝑀𝑀 = 1))))
220219com24 95 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 = 1) → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 = 1))))
221220ex 450 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑁 = 1 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑁𝑀 = 1)))))
222221com25 99 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (2 ∥ 𝑀 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1)))))
223222impd 447 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))))
2242233imp 1254 . 2 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (¬ 𝑁 = 1 → 𝑀 = 1))
22538, 224pm2.61d 170 1 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  cdif 3557  {csn 4155   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  +crp 11792  ...cfz 12284  cexp 12816  #chash 13073  Σcsu 14366  cdvds 14926  cprime 15328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329
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