Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lighneal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lighneal 41853
 Description: If a power of a prime 𝑃 (i.e. 𝑃↑𝑀) is of the form 2↑𝑁 − 1, then 𝑁 must be prime and 𝑀 must be 1. Generalization of mersenne 24997 (where 𝑀 = 1 is a prerequisite). Theorem of S. Ligh and L. Neal (1974) "A note on Mersenne mumbers", Mathematics Magazine, 47:4, 231-233. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
lighneal (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑀 = 1 ∧ 𝑁 ∈ ℙ))

Proof of Theorem lighneal
StepHypRef Expression
1 lighneallem1 41847 . . . . . . 7 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃𝑀))
2 eqneqall 2834 . . . . . . 7 (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) ≠ (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
31, 2syl5com 31 . . . . . 6 ((𝑃 = 2 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))
433exp 1283 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
54a1d 25 . . . 4 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
6 eldifsn 4350 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
7 lighneallem2 41848 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑁 ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
873exp 1283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
983exp 1283 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
109com3r 87 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1110com24 95 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
12 lighneallem3 41849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
13123exp 1283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
14133exp 1283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1514com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1615com14 96 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
1716expcomd 453 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 ∥ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))))
18 lighneallem4 41852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
19183exp 1283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))
20193exp 1283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2120com24 95 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2221com14 96 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2322expcomd 453 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))))
2417, 23pm2.61d 170 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2524com13 88 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
2611, 25pm2.61d 170 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
2726com13 88 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
286, 27sylbir 225 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
2928expcom 450 . . . 4 (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1)))))
305, 29pm2.61ine 2906 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑀 = 1))))
31303imp1 1302 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → 𝑀 = 1)
32 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (𝑃𝑀) = (𝑃↑1))
3332eqeq2d 2661 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1)))
3433adantl 481 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1)))
35 prmnn 15435 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3635nncnd 11074 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
37363ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
3837exp1d 13043 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃↑1) = 𝑃)
3938eqeq2d 2661 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) ↔ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃))
40 nnz 11437 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
41403ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
42 simpl1 1084 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
43 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑁) − 1) = 𝑃 → (((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
4443adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → (((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
4542, 44mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ)
46 mersenne 24997 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
4741, 45, 46syl2an2r 893 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = 𝑃) → 𝑁 ∈ ℙ)
4847ex 449 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = 𝑃𝑁 ∈ ℙ))
4939, 48sylbid 230 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) → 𝑁 ∈ ℙ))
5049adantr 480 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃↑1) → 𝑁 ∈ ℙ))
5134, 50sylbid 230 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 = 1) → (((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀) → 𝑁 ∈ ℙ))
5251impancom 455 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑀 = 1 → 𝑁 ∈ ℙ))
5331, 52jcai 558 1 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((2↑𝑁) − 1) = (𝑃𝑀)) → (𝑀 = 1 ∧ 𝑁 ∈ ℙ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ∖ cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  1c1 9975   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  ℤcz 11415  ↑cexp 12900   ∥ cdvds 15027  ℙcprime 15432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator