MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlrsppropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlrsppropd 19453
Description: The left ideals and ring span of a ring depend only on the ring components. Here 𝑊 is expected to be either 𝐵 (when closure is available) or V (when strong equality is available). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
lidlpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
lidlpropd.3 (𝜑𝐵𝑊)
lidlpropd.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
lidlpropd.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
lidlpropd.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lidlrsppropd (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦

Proof of Theorem lidlrsppropd
StepHypRef Expression
1 lidlpropd.1 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 rlmbas 19418 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(ringLMod‘𝐾))
31, 2syl6eq 2811 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐾)))
4 lidlpropd.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
5 rlmbas 19418 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(ringLMod‘𝐿))
64, 5syl6eq 2811 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝐿)))
7 lidlpropd.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
8 lidlpropd.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
9 rlmplusg 19419 . . . . . 6 (+g𝐾) = (+g‘(ringLMod‘𝐾))
109oveqi 6828 . . . . 5 (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
11 rlmplusg 19419 . . . . . 6 (+g𝐿) = (+g‘(ringLMod‘𝐿))
1211oveqi 6828 . . . . 5 (𝑥(+g𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
138, 10, 123eqtr3g 2818 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
14 rlmvsca 19425 . . . . . 6 (.r𝐾) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))
1514oveqi 6828 . . . . 5 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦)
16 lidlpropd.5 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) ∈ 𝑊)
1715, 16syl5eqelr 2845 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) ∈ 𝑊)
18 lidlpropd.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
19 rlmvsca 19425 . . . . . 6 (.r𝐿) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))
2019oveqi 6828 . . . . 5 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦)
2118, 15, 203eqtr3g 2818 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐾))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝐿))𝑦))
22 baseid 16142 . . . . . . 7 Base = Slot (Base‘ndx)
23 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2422, 23strfvi 16136 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘( I ‘𝐾))
25 rlmsca2 19424 . . . . . . 7 ( I ‘𝐾) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐾))
2625fveq2i 6357 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐾)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
2724, 26eqtri 2783 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾)))
281, 27syl6eq 2811 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐾))))
29 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
3022, 29strfvi 16136 . . . . . 6 (Base‘𝐿) = (Base‘( I ‘𝐿))
31 rlmsca2 19424 . . . . . . 7 ( I ‘𝐿) = (Scalar‘(ringLMod‘𝐿))
3231fveq2i 6357 . . . . . 6 (Base‘( I ‘𝐿)) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
3330, 32eqtri 2783 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿)))
344, 33syl6eq 2811 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝐿))))
353, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34lsspropd 19240 . . 3 (𝜑 → (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿)))
36 lidlval 19415 . . 3 (LIdeal‘𝐾) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐾))
37 lidlval 19415 . . 3 (LIdeal‘𝐿) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝐿))
3835, 36, 373eqtr4g 2820 . 2 (𝜑 → (LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿))
39 fvexd 6366 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐾) ∈ V)
40 fvexd 6366 . . . 4 (𝜑 → (ringLMod‘𝐿) ∈ V)
413, 6, 7, 13, 17, 21, 28, 34, 39, 40lsppropd 19241 . . 3 (𝜑 → (LSpan‘(ringLMod‘𝐾)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿)))
42 rspval 19416 . . 3 (RSpan‘𝐾) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐾))
43 rspval 19416 . . 3 (RSpan‘𝐿) = (LSpan‘(ringLMod‘𝐿))
4441, 42, 433eqtr4g 2820 . 2 (𝜑 → (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿))
4538, 44jca 555 1 (𝜑 → ((LIdeal‘𝐾) = (LIdeal‘𝐿) ∧ (RSpan‘𝐾) = (RSpan‘𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wss 3716   I cid 5174  cfv 6050  (class class class)co 6815  ndxcnx 16077  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  .rcmulr 16165  Scalarcsca 16167   ·𝑠 cvsca 16168  LSubSpclss 19155  LSpanclspn 19194  ringLModcrglmod 19392  LIdealclidl 19393  RSpancrsp 19394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-lidl 19397  df-rsp 19398
This theorem is referenced by:  crngridl  19461
  Copyright terms: Public domain W3C validator