Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlmmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlmmgm 42453
Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lidlmmgm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Proof of Theorem lidlmmgm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlabl.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
31, 2lidlbas 42451 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
4 eleq1a 2834 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((Base‘𝐼) = 𝑈 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
53, 4mpd 15 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
65anim2i 594 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
76adantr 472 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
81, 2lidlssbas 42450 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
98adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
109sseld 3743 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1110com12 32 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1211adantr 472 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1312impcom 445 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
14 simprr 813 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))
15 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16 eqid 2760 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
171, 15, 16lidlmcl 19439 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
187, 13, 14, 17syl12anc 1475 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
1918ralrimivva 3109 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
20 fvex 6363 . . . 4 (mulGrp‘𝐼) ∈ V
21 eqid 2760 . . . . . 6 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
22 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
2321, 22mgpbas 18715 . . . . 5 (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
24 eqid 2760 . . . . . 6 (.r𝐼) = (.r𝐼)
2521, 24mgpplusg 18713 . . . . 5 (.r𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
2623, 25ismgm 17464 . . . 4 ((mulGrp‘𝐼) ∈ V → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
2720, 26mp1i 13 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
282, 16ressmulr 16228 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2928eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
3029adantl 473 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (.r𝐼) = (.r𝑅))
3130oveqdr 6838 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
3231eleq1d 2824 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
33322ralbidva 3126 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
3427, 33bitrd 268 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
3519, 34mpbird 247 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  s cress 16080  .rcmulr 16164  Mgmcmgm 17461  mulGrpcmgp 18709  Ringcrg 18767  LIdealclidl 19392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-lidl 19396
This theorem is referenced by:  lidlmsgrp  42454
  Copyright terms: Public domain W3C validator