MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidldvgen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidldvgen 19303
Description: An element generates an ideal iff it is contained in the ideal and all elements are right-divided by it. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidldvgen.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lidldvgen.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidldvgen.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
lidldvgen.d = (∥r𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidldvgen ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥,   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝐺

Proof of Theorem lidldvgen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
32snssd 4372 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → {𝐺} ⊆ 𝐵)
4 lidldvgen.k . . . . . . 7 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
5 lidldvgen.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
64, 5rspssid 19271 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ {𝐺} ⊆ 𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
71, 3, 6syl2anc 694 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
8 snssg 4347 . . . . . 6 (𝐺𝐵 → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
983ad2ant3 1104 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ {𝐺} ⊆ (𝐾‘{𝐺})))
107, 9mpbird 247 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → 𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}))
11 lidldvgen.d . . . . . . . . . 10 = (∥r𝑅)
125, 4, 11rspsn 19302 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦𝐺 𝑦})
13123adant2 1100 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑦𝐺 𝑦})
1413eleq2d 2716 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑦𝐺 𝑦}))
15 vex 3234 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
16 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺 𝑦𝐺 𝑥))
1715, 16elab 3382 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑦𝐺 𝑦} ↔ 𝐺 𝑥)
1814, 17syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ↔ 𝐺 𝑥))
1918biimpd 219 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺}) → 𝐺 𝑥))
2019ralrimiv 2994 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥)
2110, 20jca 553 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥))
22 eleq2 2719 . . . 4 (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺𝐼𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺})))
23 raleq 3168 . . . 4 (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥))
2422, 23anbi12d 747 . . 3 (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → ((𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥) ↔ (𝐺 ∈ (𝐾‘{𝐺}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐺})𝐺 𝑥)))
2521, 24syl5ibrcom 237 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) → (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)))
26 df-ral 2946 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐼𝐺 𝑥))
27 ssab 3705 . . . . . . . 8 (𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥} ↔ ∀𝑥(𝑥𝐼𝐺 𝑥))
2826, 27bitr4i 267 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥})
2928biimpi 206 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥})
3029ad2antll 765 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → 𝐼 ⊆ {𝑥𝐺 𝑥})
315, 4, 11rspsn 19302 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
32313adant2 1100 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
3332adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) = {𝑥𝐺 𝑥})
3430, 33sseqtr4d 3675 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → 𝐼 ⊆ (𝐾‘{𝐺}))
35 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
36 simpl2 1085 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → 𝐼𝑈)
37 snssi 4371 . . . . . . 7 (𝐺𝐼 → {𝐺} ⊆ 𝐼)
3837adantl 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → {𝐺} ⊆ 𝐼)
39 lidldvgen.u . . . . . . 7 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
404, 39rspssp 19274 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈 ∧ {𝐺} ⊆ 𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
4135, 36, 38, 40syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ 𝐺𝐼) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
4241adantrr 753 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → (𝐾‘{𝐺}) ⊆ 𝐼)
4334, 42eqssd 3653 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) ∧ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺}))
4443ex 449 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → ((𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥) → 𝐼 = (𝐾‘{𝐺})))
4525, 44impbid 202 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐺𝐵) → (𝐼 = (𝐾‘{𝐺}) ↔ (𝐺𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 𝐺 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wral 2941  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  Ringcrg 18593  rcdsr 18684  LIdealclidl 19218  RSpancrsp 19219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-dvdsr 18687  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223
This theorem is referenced by:  lpigen  19304  ig1prsp  23982
  Copyright terms: Public domain W3C validator