Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnle 35620
Description: The orthocomplement of a co-atom is not under it. (Contributed by NM, 22-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnle.l = (le‘𝐾)
lhpocnle.o = (oc‘𝐾)
lhpocnle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpocnle ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) 𝑊)

Proof of Theorem lhpocnle
StepHypRef Expression
1 hlatl 34965 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 simpr 476 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊𝐻)
4 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 lhpocnle.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
64, 5lhpbase 35602 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
7 lhpocnle.o . . . . . . 7 = (oc‘𝐾)
8 eqid 2651 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
94, 7, 8, 5lhpoc 35618 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
106, 9sylan2 490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑊𝐻 ↔ ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)))
113, 10mpbid 222 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾))
12 eqid 2651 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
1312, 8atn0 34913 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ ( 𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ( 𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
142, 11, 13syl2anc 694 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑊) ≠ (0.‘𝐾))
1514neneqd 2828 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) = (0.‘𝐾))
16 simpr 476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) 𝑊)
17 hllat 34968 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1817ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → 𝐾 ∈ Lat)
19 hlop 34967 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2019ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → 𝐾 ∈ OP)
216ad2antlr 763 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
224, 7opoccl 34799 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
2320, 21, 22syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
24 lhpocnle.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
254, 24latref 17100 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ( 𝑊) ( 𝑊))
2618, 23, 25syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) ( 𝑊))
27 eqid 2651 . . . . . . 7 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
284, 24, 27latlem12 17125 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))) → ((( 𝑊) 𝑊 ∧ ( 𝑊) ( 𝑊)) ↔ ( 𝑊) (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊))))
2918, 23, 21, 23, 28syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ((( 𝑊) 𝑊 ∧ ( 𝑊) ( 𝑊)) ↔ ( 𝑊) (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊))))
3016, 26, 29mpbi2and 976 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊)))
314, 7, 27, 12opnoncon 34813 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊)) = (0.‘𝐾))
3220, 21, 31syl2anc 694 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → (𝑊(meet‘𝐾)( 𝑊)) = (0.‘𝐾))
3330, 32breqtrd 4711 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) (0.‘𝐾))
344, 24, 12ople0 34792 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ( 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (( 𝑊) (0.‘𝐾) ↔ ( 𝑊) = (0.‘𝐾)))
3520, 23, 34syl2anc 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → (( 𝑊) (0.‘𝐾) ↔ ( 𝑊) = (0.‘𝐾)))
3633, 35mpbid 222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑊) 𝑊) → ( 𝑊) = (0.‘𝐾))
3715, 36mtand 692 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ¬ ( 𝑊) 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  occoc 15996  meetcmee 16992  0.cp0 17084  Latclat 17092  OPcops 34777  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  HLchlt 34955  LHypclh 35588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-lhyp 35592
This theorem is referenced by:  lhpocnel  35622
  Copyright terms: Public domain W3C validator