Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpocnel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpocnel2 34824
Description: The orthocomplement of a co-atom is an atom not under it. Provides a convenient construction when we need the existence of any object with this property. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpocnel2.l = (le‘𝐾)
lhpocnel2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpocnel2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lhpocnel2.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lhpocnel2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))

Proof of Theorem lhpocnel2
StepHypRef Expression
1 lhpocnel2.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 eqid 2621 . . 3 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 lhpocnel2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhpocnel2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
51, 2, 3, 4lhpocnel 34823 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
6 lhpocnel2.p . . . 4 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
76eleq1i 2689 . . 3 (𝑃𝐴 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴)
86breq1i 4630 . . . 4 (𝑃 𝑊 ↔ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)
98notbii 310 . . 3 𝑃 𝑊 ↔ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊)
107, 9anbi12i 732 . 2 ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ↔ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
115, 10sylibr 224 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cfv 5857  lecple 15888  occoc 15889  Atomscatm 34069  HLchlt 34156  LHypclh 34789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-meet 16917  df-p0 16979  df-p1 16980  df-lat 16986  df-oposet 33982  df-ol 33984  df-oml 33985  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157  df-lhyp 34793
This theorem is referenced by:  cdlemk56w  35780  diclspsn  36002  cdlemn3  36005  cdlemn4  36006  cdlemn4a  36007  cdlemn6  36010  cdlemn8  36012  cdlemn9  36013  cdlemn11a  36015  dihordlem7b  36023  dihopelvalcpre  36056  dihmeetlem1N  36098  dihglblem5apreN  36099  dihglbcpreN  36108  dihmeetlem4preN  36114  dihmeetlem13N  36127  dih1dimatlem0  36136  dih1dimatlem  36137  dihpN  36144  dihatexv  36146  dihjatcclem3  36228  dihjatcclem4  36229
  Copyright terms: Public domain W3C validator