Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpmcvr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpmcvr2 35813
 Description: Alternate way to express that the meet of a lattice hyperplane with an element not under it is covered by the element. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhpmcvr2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lhpmcvr2.l = (le‘𝐾)
lhpmcvr2.j = (join‘𝐾)
lhpmcvr2.m = (meet‘𝐾)
lhpmcvr2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhpmcvr2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpmcvr2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑝)   (𝑝)

Proof of Theorem lhpmcvr2
StepHypRef Expression
1 lhpmcvr2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lhpmcvr2.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 lhpmcvr2.m . . 3 = (meet‘𝐾)
4 eqid 2760 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
5 lhpmcvr2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5lhpmcvr 35812 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
7 simpll 807 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
8 simprl 811 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑋𝐵)
91, 5lhpbase 35787 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
109ad2antlr 765 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑊𝐵)
11 lhpmcvr2.j . . . 4 = (join‘𝐾)
12 lhpmcvr2.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
131, 2, 11, 3, 4, 12cvrval5 35204 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → ((𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)))
147, 8, 10, 13syl3anc 1477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝑋 𝑊)( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)))
156, 14mpbid 222 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝑝 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  meetcmee 17146   ⋖ ccvr 35052  Atomscatm 35053  HLchlt 35140  LHypclh 35773 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-lhyp 35777 This theorem is referenced by:  lhpmcvr5N  35816  cdleme29ex  36164  cdleme29c  36166  cdlemefrs29cpre1  36188  cdlemefr29exN  36192  cdleme32d  36234  cdleme32f  36236  cdleme48gfv1  36326  cdlemg7fvbwN  36397  cdlemg7aN  36415  dihlsscpre  37025  dihvalcqpre  37026  dihord6apre  37047  dihord4  37049  dihord5b  37050  dihord5apre  37053  dihmeetlem1N  37081  dihglblem5apreN  37082  dihglbcpreN  37091
 Copyright terms: Public domain W3C validator