Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhpex2leN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhpex2leN 35822
Description: There exist at least two different atoms under a co-atom. This allows us to create a line under the co-atom. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2at.l = (le‘𝐾)
lhp2at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2at.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhpex2leN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞

Proof of Theorem lhpex2leN
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → 𝑝 𝑊)
2 lhp2at.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 lhp2at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 lhp2at.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle1 35817 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝))
65adantr 466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝))
71, 6jca 501 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → (𝑝 𝑊 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
8 necom 2996 . . . . . . 7 (𝑝𝑞𝑞𝑝)
983anbi3i 1162 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞) ↔ (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑞𝑝))
10 3anass 1080 . . . . . 6 ((𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑞𝑝) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
119, 10bitri 264 . . . . 5 ((𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
1211rexbii 3189 . . . 4 (∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
13 r19.42v 3240 . . . 4 (∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊 ∧ (𝑞 𝑊𝑞𝑝)) ↔ (𝑝 𝑊 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝)))
1412, 13bitr2i 265 . . 3 ((𝑝 𝑊 ∧ ∃𝑞𝐴 (𝑞 𝑊𝑞𝑝)) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
157, 14sylib 208 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴𝑝 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
162, 3, 4lhpexle 35814 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑊)
1715, 16reximddv 3166 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝 𝑊𝑞 𝑊𝑝𝑞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062   class class class wbr 4787  cfv 6030  lecple 16156  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35797
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator