Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp0lt 35761
Description: A co-atom is greater than zero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp0lt.s < = (lt‘𝐾)
lhp0lt.z 0 = (0.‘𝐾)
lhp0lt.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp0lt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 < 𝑊)

Proof of Theorem lhp0lt
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhp0lt.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
2 eqid 2748 . . 3 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 lhp0lt.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexlt 35760 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊)
5 simp1l 1216 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
6 hlop 35121 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7 eqid 2748 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 lhp0lt.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
97, 8op0cl 34943 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
105, 6, 93syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
117, 2atbase 35048 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12113ad2ant2 1126 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp2 1129 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
14 eqid 2748 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
158, 14, 2atcvr0 35047 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
165, 13, 15syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
177, 1, 14cvrlt 35029 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝) → 0 < 𝑝)
185, 10, 12, 16, 17syl31anc 1466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑝)
19 simp3 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 < 𝑊)
20 hlpos 35124 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
215, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ Poset)
22 simp1r 1217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊𝐻)
237, 3lhpbase 35756 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
257, 1plttr 17142 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑝𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
2621, 10, 12, 24, 25syl13anc 1465 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → (( 0 < 𝑝𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
2718, 19, 26mp2and 717 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊)
2827rexlimdv3a 3159 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊0 < 𝑊))
294, 28mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 < 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wrex 3039   class class class wbr 4792  cfv 6037  Basecbs 16030  Posetcpo 17112  ltcplt 17113  0.cp0 17209  OPcops 34931  ccvr 35021  Atomscatm 35022  HLchlt 35109  LHypclh 35742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-preset 17100  df-poset 17118  df-plt 17130  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-p0 17211  df-p1 17212  df-lat 17218  df-clat 17280  df-oposet 34935  df-ol 34937  df-oml 34938  df-covers 35025  df-ats 35026  df-atl 35057  df-cvlat 35081  df-hlat 35110  df-lhyp 35746
This theorem is referenced by:  lhpn0  35762
  Copyright terms: Public domain W3C validator