Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp0lt 35761
 Description: A co-atom is greater than zero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp0lt.s < = (lt‘𝐾)
lhp0lt.z 0 = (0.‘𝐾)
lhp0lt.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp0lt ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 < 𝑊)

Proof of Theorem lhp0lt
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhp0lt.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
2 eqid 2748 . . 3 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 lhp0lt.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexlt 35760 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊)
5 simp1l 1216 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ HL)
6 hlop 35121 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
7 eqid 2748 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 lhp0lt.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
97, 8op0cl 34943 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
105, 6, 93syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
117, 2atbase 35048 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12113ad2ant2 1126 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp2 1129 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
14 eqid 2748 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
158, 14, 2atcvr0 35047 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
165, 13, 15syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝)
177, 1, 14cvrlt 35029 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑝) → 0 < 𝑝)
185, 10, 12, 16, 17syl31anc 1466 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑝)
19 simp3 1130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑝 < 𝑊)
20 hlpos 35124 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
215, 20syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝐾 ∈ Poset)
22 simp1r 1217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊𝐻)
237, 3lhpbase 35756 . . . . . 6 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
257, 1plttr 17142 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑝𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
2621, 10, 12, 24, 25syl13anc 1465 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → (( 0 < 𝑝𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊))
2718, 19, 26mp2and 717 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑝 < 𝑊) → 0 < 𝑊)
2827rexlimdv3a 3159 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝 < 𝑊0 < 𝑊))
294, 28mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 0 < 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ∃wrex 3039   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  Basecbs 16030  Posetcpo 17112  ltcplt 17113  0.cp0 17209  OPcops 34931   ⋖ ccvr 35021  Atomscatm 35022  HLchlt 35109  LHypclh 35742 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-preset 17100  df-poset 17118  df-plt 17130  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-p0 17211  df-p1 17212  df-lat 17218  df-clat 17280  df-oposet 34935  df-ol 34937  df-oml 34938  df-covers 35025  df-ats 35026  df-atl 35057  df-cvlat 35081  df-hlat 35110  df-lhyp 35746 This theorem is referenced by:  lhpn0  35762
 Copyright terms: Public domain W3C validator