MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lhop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhop1 23822
Description: L'Hôpital's Rule for limits from the right. If 𝐹 and 𝐺 are differentiable real functions on (𝐴, 𝐵), and 𝐹 and 𝐺 both approach 0 at 𝐴, and 𝐺(𝑥) and 𝐺' (𝑥) are not zero on (𝐴, 𝐵), and the limit of 𝐹' (𝑥) / 𝐺' (𝑥) at 𝐴 is 𝐶, then the limit 𝐹(𝑥) / 𝐺(𝑥) at 𝐴 also exists and equals 𝐶. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lhop1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
lhop1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
lhop1.l (𝜑𝐴 < 𝐵)
lhop1.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop1.g (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
lhop1.if (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
lhop1.ig (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
lhop1.f0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
lhop1.g0 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
lhop1.gn0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
lhop1.gd0 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
lhop1.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴))
Assertion
Ref Expression
lhop1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝜑,𝑧   𝑧,𝐴   𝑧,𝐶   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺

Proof of Theorem lhop1
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑟 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lhop1.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴))
2 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
32rphalfcld 11922 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
4 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (𝑥 / 2) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
54imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (𝑥 / 2) → (((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) ↔ ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
65rexralbidv 3087 . . . . . . . 8 (𝑒 = (𝑥 / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
76rspcv 3336 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
83, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
9 rabid 3145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} ↔ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑))
10 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑣𝑣 < 𝐵))
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑣𝑣 < 𝐵))
1211simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 < 𝐵)
1312biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < (𝑑 + 𝐴) ↔ (𝑣 < 𝐵𝑣 < (𝑑 + 𝐴))))
14 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵))
1614, 15sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ)
17 lhop1.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1817ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
19 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2019rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ)
2216, 18, 21ltsubaddd 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑣𝐴) < 𝑑𝑣 < (𝑑 + 𝐴)))
2316rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ*)
24 lhop1.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
2524ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2617ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2720, 26readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ)
2827rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
30 xrltmin 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣 < 𝐵𝑣 < (𝑑 + 𝐴))))
3123, 25, 29, 30syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣 < 𝐵𝑣 < (𝑑 + 𝐴))))
3213, 22, 313bitr4rd 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣𝐴) < 𝑑))
3318rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3425, 29ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*)
3511simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑣)
36 elioo5 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ (𝐴 < 𝑣𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))))
3736baibd 968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴 < 𝑣) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ 𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
3833, 34, 23, 35, 37syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ 𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
3918, 16, 35ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴𝑣)
4018, 16, 39abssubge0d 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝑣𝐴)) = (𝑣𝐴))
4140breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 ↔ (𝑣𝐴) < 𝑑))
4232, 38, 413bitr4d 300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑))
4342rabbi2dva 3854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑})
4424ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
45 xrmin1 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵)
4644, 28, 45syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵)
47 iooss2 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵) → (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4844, 46, 47syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
49 sseqin2 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
5048, 49sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
5143, 50eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
5251eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑣 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} ↔ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))))
539, 52syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) ↔ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))))
54 lbioo 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)
55 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
5654, 55mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
5756necon2ai 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦𝐴)
5857biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 ↔ (𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑)))
5958bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) ↔ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑))
60 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
61 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))
6260, 61oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
63 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
64 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V
6562, 63, 64fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)))
6665oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶) = ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶))
6766fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) = (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)))
6867breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
6959, 68imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))))
7069ralbiia 3008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
71 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣𝐴) = (𝑦𝐴))
7271fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑦 → (abs‘(𝑣𝐴)) = (abs‘(𝑦𝐴)))
7372breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑦 → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑))
7473ralrab 3401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
7570, 74bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))
7651adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
7776raleqdv 3174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))
7817ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
7924ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
80 lhop1.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 < 𝐵)
8180ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < 𝐵)
82 lhop1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8382ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
84 lhop1.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8584ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
86 lhop1.if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
8786ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
88 lhop1.ig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
8988ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
90 lhop1.f0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
9190ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 0 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
92 lhop1.g0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
9392ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 0 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
94 lhop1.gn0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
9594ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
96 lhop1.gd0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
9796ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
981ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴))
993adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
10078rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
101 simprll 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
102101rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ)
103102, 78readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ)
104 iocssre 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ⊆ ℝ)
105100, 103, 104syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ⊆ ℝ)
10679adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
107102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ)
10878adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
109107, 108readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ)
110109rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
111106, 110ifclda 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*)
11278, 101ltaddrp2d 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < (𝑑 + 𝐴))
113103rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
114 xrltmin 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < (𝑑 + 𝐴))))
115100, 79, 113, 114syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 < (𝑑 + 𝐴))))
11681, 112, 115mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))
117 xrmin2 12047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))
11879, 113, 117syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))
119 elioc1 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))))
120100, 113, 119syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ*𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴))))
121111, 116, 118, 120mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)))
122105, 121sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ)
12379, 113, 45syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵)
124 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))
125 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))
126 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 + (𝑟 / 2)) = (𝐴 + (𝑟 / 2))
12778, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 98, 99, 122, 123, 124, 125, 126lhop1lem 23821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < (2 · (𝑥 / 2)))
1282rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
129 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
130 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ≠ 0
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
132128, 129, 131divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (𝑥 / 2)) = 𝑥)
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (2 · (𝑥 / 2)) = 𝑥)
134127, 133breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)
135134expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
13677, 135sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
13775, 136syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
138137expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
13953, 138sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
140139expdimp 452 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
141 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑣 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑣))
142 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑣 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑣))
143141, 142oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑣 → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) = ((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)))
144 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))
145 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ V
146143, 144, 145fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) = ((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)))
147146oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶) = (((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶))
148147fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)))
149148breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))
150149imbi2d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
151150adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑣) / (𝐺𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)))
152140, 151sylibrd 249 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
153152adantld 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
154153com23 86 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
155154ralrimdva 2998 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
156155reximdva 3046 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
1578, 156syld 47 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
158157ralrimdva 2998 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))
159158anim2d 588 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))))
160 dvf 23716 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
16186feq2d 6069 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
162160, 161mpbii 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
163162ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
164 dvf 23716 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
16588feq2d 6069 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
166164, 165mpbii 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
167166ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ℂ)
16896adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))
169 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
170166, 169syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
171 fnfvelrn 6396 . . . . . . . . . 10 (((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
172170, 171sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺))
173 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
174172, 173syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺)))
175174necon3bd 2837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0))
176168, 175mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0)
177163, 167, 176divcld 10839 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ ℂ)
178177, 63fmptd 6425 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
179 ax-resscn 10031 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
18014, 179sstri 3645 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
181180a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
18217recnd 10106 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
183178, 181, 182ellimc3 23688 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦𝐴 ∧ (abs‘(𝑦𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒))))
18482ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
185184recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
18684ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℝ)
187186recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
18894adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺)
189 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ → 𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
19084, 189syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵))
191 fnfvelrn 6396 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
192190, 191sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺)
193 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑧) = 0 → ((𝐺𝑧) ∈ ran 𝐺 ↔ 0 ∈ ran 𝐺))
194192, 193syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺𝑧) = 0 → 0 ∈ ran 𝐺))
195194necon3bd 2837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran 𝐺 → (𝐺𝑧) ≠ 0))
196188, 195mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑧) ≠ 0)
197185, 187, 196divcld 10839 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
198197, 144fmptd 6425 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
199198, 181, 182ellimc3 23688 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣𝐴 ∧ (abs‘(𝑣𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))))
200159, 183, 1993imtr4d 283 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) lim 𝐴) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴)))
2011, 200mpd 15 1 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹𝑧) / (𝐺𝑧))) lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  cin 3606  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  abscabs 14018   lim climc 23671   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  lhop2  23823  lhop  23824  fourierdlem61  40702
  Copyright terms: Public domain W3C validator