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Theorem lgsval2lem 25253
Description: Lemma for lgsval2 25259. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgsval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsval2lem ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsval2lem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 15596 . . 3 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
2 lgsval.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (if(𝑛 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑛 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑛) − 1))↑(𝑛 pCnt 𝑁)), 1))
32lgsval 25247 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
41, 3sylan2 580 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))))
5 prmnn 15595 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
65adantl 467 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
76nnne0d 11267 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ≠ 0)
87neneqd 2948 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 = 0)
98iffalsed 4236 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 0, if((𝐴↑2) = 1, 1, 0), (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)))) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))))
106nnnn0d 11553 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1110nn0ge0d 11556 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 0 ≤ 𝑁)
12 0re 10242 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
136nnred 11237 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
14 lenlt 10318 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
1512, 13, 14sylancr 575 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 0))
1611, 15mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ 𝑁 < 0)
1716intnanrd 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
1817iffalsed 4236 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
1913, 11absidd 14369 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2019fveq2d 6336 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (seq1( · , 𝐹)‘𝑁))
21 1z 11609 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
22 prmuz2 15615 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2322adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
24 df-2 11281 . . . . . . . . 9 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 6335 . . . . . . . 8 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2623, 25syl6eleq 2860 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 seqm1 13025 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹𝑁)))
2821, 26, 27sylancr 575 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹𝑁)))
29 1t1e1 11377 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · 1) = 1)
31 uz2m1nn 11966 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
3223, 31syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
33 nnuz 11925 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
3432, 33syl6eleq 2860 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
35 elfznn 12577 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
3635adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
372lgsfval 25248 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → (𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1))
39 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4039zred 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4140ltm1d 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
42 elfzle2 12552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑁 ≤ (𝑁 − 1))
43 peano2rem 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4540, 44lenltd 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → (𝑁 ≤ (𝑁 − 1) ↔ ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁))
4642, 45mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ (𝑁 − 1) < 𝑁)
4741, 46pm2.65i 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))
48 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
4947, 48mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑁 → ¬ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
5049con2i 136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
5150ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 = 𝑁)
52 prmuz2 15615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
5352adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ (ℤ‘2))
54 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
55 dvdsprm 15622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑥𝑁𝑥 = 𝑁))
5653, 54, 55syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥𝑁𝑥 = 𝑁))
5751, 56mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥𝑁)
58 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
596ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
60 pceq0 15782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥𝑁))
6158, 59, 60syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → ((𝑥 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑥𝑁))
6257, 61mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (𝑥 pCnt 𝑁) = 0)
6362oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0))
64 0z 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℤ
65 neg1z 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℤ
6621, 65keepel 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1) ∈ ℤ
6764, 66keepel 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 = 2) → if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)) ∈ ℤ)
69 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7069ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
71 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℙ)
72 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ¬ 𝑥 = 2)
7372neqned 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ≠ 2)
74 eldifsn 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
7571, 73, 74sylanbrc 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}))
76 oddprm 15722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ)
7877nnnn0d 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
79 zexpcl 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑥 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
8070, 78, 79syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
8180peano2zd 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
82 prmnn 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
8382ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
8481, 83zmodcld 12899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℕ0)
8584nn0zd 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ)
86 peano2zm 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) ∈ ℤ → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) ∧ ¬ 𝑥 = 2) → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) ∈ ℤ)
8868, 87ifclda 4259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℤ)
8988zcnd 11685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
9089adantlr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
9190exp0d 13209 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑0) = 1)
9263, 91eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ ℙ) → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)) = 1)
9392ifeq1da 4255 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1))
94 ifid 4264 . . . . . . . . . 10 if(𝑥 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
9593, 94syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → if(𝑥 ∈ ℙ, (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1))↑(𝑥 pCnt 𝑁)), 1) = 1)
9638, 95eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑥) = 1)
9730, 34, 96seqid3 13052 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) = 1)
9897oveq1d 6808 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((seq1( · , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) · (𝐹𝑁)) = (1 · (𝐹𝑁)))
991adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
1002lgsfcl 25251 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
10169, 99, 7, 100syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
102101, 6ffvelrnd 6503 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℤ)
103102zcnd 11685 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
104103mulid2d 10260 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (1 · (𝐹𝑁)) = (𝐹𝑁))
10528, 98, 1043eqtrd 2809 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘𝑁) = (𝐹𝑁))
10620, 105eqtrd 2805 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁)) = (𝐹𝑁))
10718, 106oveq12d 6811 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = (1 · (𝐹𝑁)))
1082lgsfval 25248 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
1096, 108syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) = if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1))
110 iftrue 4231 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℙ → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
111110adantl 467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 ∈ ℙ, (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)), 1) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)))
1126nncnd 11238 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
113112exp1d 13210 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁↑1) = 𝑁)
114113oveq2d 6809 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = (𝑁 pCnt 𝑁))
115 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℙ)
116 pcid 15784 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
117115, 21, 116sylancl 574 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt (𝑁↑1)) = 1)
118114, 117eqtr3d 2807 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝑁 pCnt 𝑁) = 1)
119118oveq2d 6809 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1))
120 eqeq1 2775 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 2 ↔ 𝑁 = 2))
121 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 − 1) = (𝑁 − 1))
122121oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
123122oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)))
124123oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1))
125 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁𝑥 = 𝑁)
126124, 125oveq12d 6811 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁))
127126oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1) = ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))
128120, 127ifbieq2d 4250 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
129128eleq1d 2835 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ ↔ if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ))
13089ralrimiva 3115 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ ℙ if(𝑥 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑥 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
131129, 130, 115rspcdva 3466 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
132131exp1d 13210 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑1) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
133119, 132eqtrd 2805 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1))↑(𝑁 pCnt 𝑁)) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
134109, 111, 1333eqtrd 2809 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐹𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
135107, 104, 1343eqtrd 2809 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑁))) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
1364, 9, 1353eqtrd 2809 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑁) = if(𝑁 = 2, if(2 ∥ 𝐴, 0, if((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}, 1, -1)), ((((𝐴↑((𝑁 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑁) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  ifcif 4225  {csn 4316  {cpr 4318   class class class wbr 4786  cmpt 4863  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  7c7 11277  8c8 11278  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533   mod cmo 12876  seqcseq 13008  cexp 13067  abscabs 14182  cdvds 15189  cprime 15592   pCnt cpc 15748   /L clgs 25240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-phi 15678  df-pc 15749  df-lgs 25241
This theorem is referenced by:  lgsval4lem  25254  lgsval2  25259
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