MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrmodndvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrmodndvds 25298
Description: If the Legendre symbol of an integer 𝐴 for an odd prime is 1, then the number is a quadratic residue mod 𝑃 with a solution 𝑥 of the congruence (𝑥↑2)≡𝐴 (mod 𝑃) which is not divisible by the prime. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
lgsqrmodndvds ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑃

Proof of Theorem lgsqrmodndvds
StepHypRef Expression
1 lgsqrmod 25297 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃)))
21imp 393 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃))
3 eldifi 3881 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
4 prmnn 15594 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
65ad3antlr 702 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7 zsqcl 13140 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
87adantl 467 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℤ)
9 simplll 750 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
10 moddvds 15199 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
116, 8, 9, 10syl3anc 1475 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)))
125nnzd 11682 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
1312ad3antlr 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
1413, 8, 93jca 1121 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
1514adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
16 dvdssub2 15231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴))
1715, 16sylan 561 . . . . . . . . . 10 (((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴)) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴))
1817ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴)))
19 bicom 212 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴) ↔ (𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2)))
203ad3antlr 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℙ)
21 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
22 2nn 11386 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
24 prmdvdsexp 15633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝑥))
2520, 21, 23, 24syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝑥))
2625biimparc 465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∥ (𝑥↑2))
27 bianir 1045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → 𝑃𝐴)
285ad2antlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → 𝑃 ∈ ℕ)
29 dvdsmod0 15194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃𝐴) → (𝐴 mod 𝑃) = 0)
3029ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃𝐴 → (𝐴 mod 𝑃) = 0))
32 lgsprme0 25284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
333, 32sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = 0))
34 eqeq1 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 ↔ 0 = 1))
35 0ne1 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≠ 1
36 eqneqall 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 = 1 → (0 ≠ 1 → ¬ 𝑃𝑥))
3735, 36mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = 1 → ¬ 𝑃𝑥)
3834, 37syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 /L 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃𝑥))
3933, 38syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ¬ 𝑃𝑥)))
4039com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃𝑥)))
4140imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ((𝐴 mod 𝑃) = 0 → ¬ 𝑃𝑥))
4231, 41syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (𝑃𝐴 → ¬ 𝑃𝑥))
4342ad2antrl 699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃𝐴 → ¬ 𝑃𝑥))
4427, 43syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ∧ (𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2))) → ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃𝑥))
4544ex 397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ¬ 𝑃𝑥)))
4645com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∥ (𝑥↑2) → ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃𝑥)))
4726, 46mpcom 38 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝐴𝑃 ∥ (𝑥↑2)) → ¬ 𝑃𝑥))
4819, 47syl5bi 232 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑃 ∥ (𝑥↑2) ↔ 𝑃𝐴) → ¬ 𝑃𝑥))
4918, 48syld 47 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑥 ∧ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃𝑥))
5049ex 397 . . . . . . 7 (𝑃𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃𝑥)))
51 2a1 28 . . . . . . 7 𝑃𝑥 → ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃𝑥)))
5250, 51pm2.61i 176 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑥↑2) − 𝐴) → ¬ 𝑃𝑥))
5311, 52sylbid 230 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ¬ 𝑃𝑥))
5453ancld 532 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥)))
5554reximdva 3164 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → (∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥)))
562, 55mpd 15 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) ∧ (𝐴 /L 𝑃) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥))
5756ex 397 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑2) mod 𝑃) = (𝐴 mod 𝑃) ∧ ¬ 𝑃𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wrex 3061  cdif 3718  {csn 4314   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138  cmin 10467  cn 11221  2c2 11271  cz 11578   mod cmo 12875  cexp 13066  cdvds 15188  cprime 15591   /L clgs 25239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-ofr 7044  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-phi 15677  df-pc 15748  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-prds 16315  df-pws 16317  df-imas 16375  df-qus 16376  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-nsg 17799  df-eqg 17800  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-srg 18713  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-rnghom 18924  df-drng 18958  df-field 18959  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-lidl 19388  df-rsp 19389  df-2idl 19446  df-nzr 19472  df-rlreg 19497  df-domn 19498  df-idom 19499  df-assa 19526  df-asp 19527  df-ascl 19528  df-psr 19570  df-mvr 19571  df-mpl 19572  df-opsr 19574  df-evls 19720  df-evl 19721  df-psr1 19764  df-vr1 19765  df-ply1 19766  df-coe1 19767  df-evl1 19895  df-cnfld 19961  df-zring 20033  df-zrh 20066  df-zn 20069  df-mdeg 24034  df-deg1 24035  df-mon1 24109  df-uc1p 24110  df-q1p 24111  df-r1p 24112  df-lgs 25240
This theorem is referenced by:  sfprmdvdsmersenne  42038
  Copyright terms: Public domain W3C validator