Theorem lgsqrlem3 25294

Description: Lemma for lgsqr 25297. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem3	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   ↑ (𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2	1	eldifad 3735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		lgsqr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
4	3	znfld 20124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
6		fldidom 19520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
8		isidom 19519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
9	8	simplbi 485	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
11		crngring 18766	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
13		lgsqr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
14	13	zrhrhm 20075	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16		zringbas 20039	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
17		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
18	16, 17	rhmf 18936	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20		lgsqr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
21	19, 20	ffvelrnd 6505	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22		lgsqr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
23		lgsqr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24		lgsqr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑌)
25		lgsqr.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
26		lgsqr.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27		lgsqr.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
28		lgsqr.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑆)
29		lgsqr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
30		lgsqr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
31		lgsvalmod 25262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
32	20, 1, 31	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
34	33	oveq1d 6811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
35	32, 34	eqtr3d 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
36	3, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35	lgsqrlem1 25292	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))
37		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ↑s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))
38		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌)))
39		fvexd 6346	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
40	25, 22, 37, 17	evl1rhm 19911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
41	10, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
42	23, 38	rhmf 18936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
44	22	ply1ring 19833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
45	12, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46		ringgrp 18760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
48		eqid 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
49	48	ringmgp 18761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
51		oddprm 15722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
52	1, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
53	52	nnnn0d 11558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
54	27, 22, 23	vr1cl 19802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
55	12, 54	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
56	48, 23	mgpbas 18703	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
57	56, 26	mulgnn0cl 17766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
58	50, 53, 55, 57	syl3anc 1476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
59	23, 29	ringidcl 18776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
60	45, 59	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
61	23, 28	grpsubcl 17703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
62	47, 58, 60, 61	syl3anc 1476	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
63	30, 62	syl5eqel 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
64	43, 63	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) ∈ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
65	37, 17, 38, 5, 39, 64	pwselbas 16357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
66	65	ffnd 6185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌))
67		fniniseg 6483	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
68	66, 67	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
69	21, 36, 68	mpbir2and 692	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720  {csn 4317   ↦ cmpt 4864  ^◡ccnv 5249   “ cima 5253   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  1c1 10143   − cmin 10472   / cdiv 10890  ℕcn 11226  2c2 11276  ℕ₀cn0 11499  ℤcz 11584  ...cfz 12533   mod cmo 12876  ↑cexp 13067  ℙcprime 15592  Basecbs 16064  0_gc0g 16308   ↑_s cpws 16315  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630  -_gcsg 17632  ._gcmg 17748  mulGrpcmgp 18697  1_rcur 18709  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756   RingHom crh 18922  Fieldcfield 18958  Domncdomn 19495  IDomncidom 19496  var₁cv1 19761  Poly₁cpl1 19762  eval₁ce1 19894  ℤ_ringzring 20033  ℤRHomczrh 20063  ℤ/nℤczn 20066   deg₁ cdg1 24034   /_L clgs 25240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-ec 7902  df-qs 7906  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-phi 15678  df-pc 15749  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-srg 18714  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-field 18960  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390  df-2idl 19447  df-nzr 19473  df-rlreg 19498  df-domn 19499  df-idom 19500  df-assa 19527  df-asp 19528  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-evls 19721  df-evl 19722  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-evl1 19896  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-zn 20070  df-lgs 25241

This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25295