Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem3 25294
 Description: Lemma for lgsqr 25297. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem3 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem3
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3735 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
43znfld 20124 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Field)
6 fldidom 19520 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
8 isidom 19519 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
98simplbi 485 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
11 crngring 18766 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1413zrhrhm 20075 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
1512, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16 zringbas 20039 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
17 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1816, 17rhmf 18936 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20 lgsqr.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2119, 20ffvelrnd 6505 . 2 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22 lgsqr.s . . 3 𝑆 = (Poly1𝑌)
23 lgsqr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
24 lgsqr.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑌)
25 lgsqr.o . . 3 𝑂 = (eval1𝑌)
26 lgsqr.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27 lgsqr.x . . 3 𝑋 = (var1𝑌)
28 lgsqr.m . . 3 = (-g𝑆)
29 lgsqr.u . . 3 1 = (1r𝑆)
30 lgsqr.t . . 3 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
31 lgsvalmod 25262 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
3220, 1, 31syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33 lgsqr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
3433oveq1d 6811 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
3532, 34eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
363, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35lgsqrlem1 25292 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))
37 eqid 2771 . . . . 5 (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s (Base‘𝑌))
38 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌)))
39 fvexd 6346 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
4025, 22, 37, 17evl1rhm 19911 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
4110, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
4223, 38rhmf 18936 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
4422ply1ring 19833 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
4512, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
46 ringgrp 18760 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
48 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
4948ringmgp 18761 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
51 oddprm 15722 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
521, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5352nnnn0d 11558 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
5427, 22, 23vr1cl 19802 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
5512, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
5648, 23mgpbas 18703 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
5756, 26mulgnn0cl 17766 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
5850, 53, 55, 57syl3anc 1476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
5923, 29ringidcl 18776 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
6045, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑1𝐵)
6123, 28grpsubcl 17703 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
6247, 58, 60, 61syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
6330, 62syl5eqel 2854 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝐵)
6443, 63ffvelrnd 6505 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑇) ∈ (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
6537, 17, 38, 5, 39, 64pwselbas 16357 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
6665ffnd 6185 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
67 fniniseg 6483 . . 3 ((𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))))
6866, 67syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))))
6921, 36, 68mpbir2and 692 1 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720  {csn 4317   ↦ cmpt 4864  ◡ccnv 5249   “ cima 5253   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  1c1 10143   − cmin 10472   / cdiv 10890  ℕcn 11226  2c2 11276  ℕ0cn0 11499  ℤcz 11584  ...cfz 12533   mod cmo 12876  ↑cexp 13067  ℙcprime 15592  Basecbs 16064  0gc0g 16308   ↑s cpws 16315  Mndcmnd 17502  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  .gcmg 17748  mulGrpcmgp 18697  1rcur 18709  Ringcrg 18755  CRingccrg 18756   RingHom crh 18922  Fieldcfield 18958  Domncdomn 19495  IDomncidom 19496  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762  eval1ce1 19894  ℤringzring 20033  ℤRHomczrh 20063  ℤ/nℤczn 20066   deg1 cdg1 24034   /L clgs 25240 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-ec 7902  df-qs 7906  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-phi 15678  df-pc 15749  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-nsg 17800  df-eqg 17801  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-srg 18714  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-field 18960  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-lidl 19389  df-rsp 19390  df-2idl 19447  df-nzr 19473  df-rlreg 19498  df-domn 19499  df-idom 19500  df-assa 19527  df-asp 19528  df-ascl 19529  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-evls 19721  df-evl 19722  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-evl1 19896  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-zn 20070  df-lgs 25241 This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25295
 Copyright terms: Public domain W3C validator