MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsmulsqcoprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsmulsqcoprm 25288
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under multiplication with a square of an integer coprime to the second argument. Theorem 9.9(d) in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
lgsmulsqcoprm (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmulsqcoprm
StepHypRef Expression
1 zsqcl 13140 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
21adantr 466 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3 simpl 468 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
4 simpl 468 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
52, 3, 43anim123i 1153 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6 zcn 11583 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
7 sqne0 13136 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
98biimpar 463 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
10 simpr 471 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
119, 10anim12i 592 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
12113adant3 1125 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13 lgsdir 25277 . . 3 ((((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
145, 12, 13syl2anc 565 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
15 3anass 1079 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)))
1615biimpri 218 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
17163adant2 1124 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18 lgssq 25282 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
1917, 18syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
2019oveq1d 6807 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (1 · (𝐵 /L 𝑁)))
213, 4anim12i 592 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22213adant1 1123 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
23 lgscl 25256 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2524zcnd 11684 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
2625mulid2d 10259 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (1 · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝐵 /L 𝑁))
2714, 20, 263eqtrd 2808 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142  2c2 11271  cz 11578  cexp 13066   gcd cgcd 15423   /L clgs 25239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-phi 15677  df-pc 15748  df-lgs 25240
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator