MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgslem3 25245
Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 is closed under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
lgslem3 ((𝐴𝑍𝐵𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lgslem3
StepHypRef Expression
1 zmulcl 11628 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
21ad2ant2r 741 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
3 zcn 11584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 zcn 11584 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 absmul 14242 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
63, 4, 5syl2an 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
76ad2ant2r 741 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
8 abscl 14226 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 absge0 14235 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
108, 9jca 501 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
113, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
1211adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
13 1red 10257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
14 abscl 14226 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
15 absge0 14235 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
1614, 15jca 501 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
174, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
1817adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
19 lemul12a 11083 . . . . . . . 8 (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
2012, 13, 18, 13, 19syl22anc 1477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1)))
2120imp 393 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 1 ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
2221an4s 639 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ (1 · 1))
23 1t1e1 11377 . . . . 5 (1 · 1) = 1
2422, 23syl6breq 4827 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)) ≤ 1)
257, 24eqbrtrd 4808 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1)
262, 25jca 501 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
27 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
2827breq1d 4796 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 1))
29 lgslem2.z . . . 4 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
3028, 29elrab2 3518 . . 3 (𝐴𝑍 ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1))
31 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐵))
3231breq1d 4796 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘𝐵) ≤ 1))
3332, 29elrab2 3518 . . 3 (𝐵𝑍 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1))
3430, 33anbi12i 612 . 2 ((𝐴𝑍𝐵𝑍) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) ≤ 1) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐵) ≤ 1)))
35 fveq2 6332 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐴 · 𝐵)))
3635breq1d 4796 . . 3 (𝑥 = (𝐴 · 𝐵) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
3736, 29elrab2 3518 . 2 ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍 ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝐴 · 𝐵)) ≤ 1))
3826, 34, 373imtr4i 281 1 ((𝐴𝑍𝐵𝑍) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143  cle 10277  cz 11579  abscabs 14182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184
This theorem is referenced by:  lgsfcl2  25249  lgscllem  25250  lgsdirprm  25277
  Copyright terms: Public domain W3C validator