MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgslem2 25243
Description: The set 𝑍 of all integers with absolute value at most 1 contains {-1, 0, 1}. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lgslem2.z 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
Assertion
Ref Expression
lgslem2 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)

Proof of Theorem lgslem2
StepHypRef Expression
1 neg1z 11614 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 1le1 10856 . . 3 1 ≤ 1
3 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = (abs‘-1))
4 ax-1cn 10195 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
54absnegi 14346 . . . . . . 7 (abs‘-1) = (abs‘1)
6 abs1 14244 . . . . . . 7 (abs‘1) = 1
75, 6eqtri 2792 . . . . . 6 (abs‘-1) = 1
83, 7syl6eq 2820 . . . . 5 (𝑥 = -1 → (abs‘𝑥) = 1)
98breq1d 4794 . . . 4 (𝑥 = -1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
10 lgslem2.z . . . 4 𝑍 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
119, 10elrab2 3516 . . 3 (-1 ∈ 𝑍 ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
121, 2, 11mpbir2an 682 . 2 -1 ∈ 𝑍
13 0z 11589 . . 3 0 ∈ ℤ
14 0le1 10752 . . 3 0 ≤ 1
15 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = (abs‘0))
16 abs0 14232 . . . . . 6 (abs‘0) = 0
1715, 16syl6eq 2820 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (abs‘𝑥) = 0)
1817breq1d 4794 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 0 ≤ 1))
1918, 10elrab2 3516 . . 3 (0 ∈ 𝑍 ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 1))
2013, 14, 19mpbir2an 682 . 2 0 ∈ 𝑍
21 1z 11608 . . 3 1 ∈ ℤ
22 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = (abs‘1))
2322, 6syl6eq 2820 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (abs‘𝑥) = 1)
2423breq1d 4794 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
2524, 10elrab2 3516 . . 3 (1 ∈ 𝑍 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 1))
2621, 2, 25mpbir2an 682 . 2 1 ∈ 𝑍
2712, 20, 263pm3.2i 1422 1 (-1 ∈ 𝑍 ∧ 0 ∈ 𝑍 ∧ 1 ∈ 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  {crab 3064   class class class wbr 4784  cfv 6031  0cc0 10137  1c1 10138  cle 10276  -cneg 10468  cz 11578  abscabs 14181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183
This theorem is referenced by:  lgslem4  25245  lgscllem  25249
  Copyright terms: Public domain W3C validator