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Theorem lgsdir2lem4 25273
Description: Lemma for lgsdir2 25275. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))

Proof of Theorem lgsdir2lem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6822 . . 3 (𝐴 mod 8) ∈ V
21elpr 4336 . 2 ((𝐴 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7))
3 zre 11582 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
43ad2antrr 697 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 1red 10256 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
6 simplr 744 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℤ)
7 8re 11306 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
8 8pos 11322 . . . . . . . 8 0 < 8
97, 8elrpii 12037 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ+
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
11 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = 1)
12 lgsdir2lem1 25270 . . . . . . . . 9 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
1312simpli 470 . . . . . . . 8 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
1413simpli 470 . . . . . . 7 (1 mod 8) = 1
1511, 14syl6eqr 2822 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (𝐴 mod 8) = (1 mod 8))
16 modmul1 12930 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
174, 5, 6, 10, 15, 16syl221anc 1486 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((1 · 𝐵) mod 8))
18 zcn 11583 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
1918ad2antlr 698 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
2019mulid2d 10259 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
2120oveq1d 6807 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((1 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
2217, 21eqtrd 2804 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (𝐵 mod 8))
2322eleq1d 2834 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 1) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
243ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐴 ∈ ℝ)
25 neg1rr 11326 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
27 simplr 744 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℤ)
289a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
29 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = 7)
3013simpri 473 . . . . . . . 8 (-1 mod 8) = 7
3129, 30syl6eqr 2822 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8))
32 modmul1 12930 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
3324, 26, 27, 28, 31, 32syl221anc 1486 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = ((-1 · 𝐵) mod 8))
3418ad2antlr 698 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → 𝐵 ∈ ℂ)
3534mulm1d 10683 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
3635oveq1d 6807 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-1 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
3733, 36eqtrd 2804 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((𝐴 · 𝐵) mod 8) = (-𝐵 mod 8))
3837eleq1d 2834 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
39 znegcl 11613 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
40 oveq1 6799 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
4140eleq1d 2834 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
42 negeq 10474 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝐵 → -𝑥 = --𝐵)
4342oveq1d 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (--𝐵 mod 8))
4443eleq1d 2834 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
4541, 44imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑥 = -𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
46 zcn 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
47 neg1cn 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -1 ∈ ℂ
48 mulcom 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
4947, 48mpan2 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = (-1 · 𝑥))
50 mulm1 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → (-1 · 𝑥) = -𝑥)
5149, 50eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5352adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
5453oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
55 zre 11582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
5655adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 𝑥 ∈ ℝ)
57 1red 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 1 ∈ ℝ)
58 neg1z 11614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℤ
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → -1 ∈ ℤ)
609a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → 8 ∈ ℝ+)
61 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = 1)
6261, 14syl6eqr 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (𝑥 mod 8) = (1 mod 8))
63 modmul1 12930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6456, 57, 59, 60, 62, 63syl221anc 1486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6554, 64eqtr3d 2806 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = ((1 · -1) mod 8))
6647mulid2i 10244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · -1) = -1
6766oveq1i 6802 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · -1) mod 8) = (-1 mod 8)
6867, 30eqtri 2792 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · -1) mod 8) = 7
6965, 68syl6eq 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 1) → (-𝑥 mod 8) = 7)
7069ex 397 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 1 → (-𝑥 mod 8) = 7))
7152adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 · -1) = -𝑥)
7271oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = (-𝑥 mod 8))
7355adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 𝑥 ∈ ℝ)
7425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℝ)
7558a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → -1 ∈ ℤ)
769a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → 8 ∈ ℝ+)
77 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = 7)
7877, 30syl6eqr 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8))
79 modmul1 12930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) ∧ (-1 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 mod 8) = (-1 mod 8)) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
8073, 74, 75, 76, 78, 79syl221anc 1486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → ((𝑥 · -1) mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
8172, 80eqtr3d 2806 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = ((-1 · -1) mod 8))
82 neg1mulneg1e1 11446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · -1) = 1
8382oveq1i 6802 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1 · -1) mod 8) = (1 mod 8)
8483, 14eqtri 2792 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 · -1) mod 8) = 1
8581, 84syl6eq 2820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 mod 8) = 7) → (-𝑥 mod 8) = 1)
8685ex 397 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) = 7 → (-𝑥 mod 8) = 1))
8770, 86orim12d 945 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7) → ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1)))
88 ovex 6822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 mod 8) ∈ V
8988elpr 4336 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((𝑥 mod 8) = 1 ∨ (𝑥 mod 8) = 7))
90 ovex 6822 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑥 mod 8) ∈ V
9190elpr 4336 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7))
92 orcom 850 . . . . . . . . . . 11 (((-𝑥 mod 8) = 1 ∨ (-𝑥 mod 8) = 7) ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
9391, 92bitri 264 . . . . . . . . . 10 ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ ((-𝑥 mod 8) = 7 ∨ (-𝑥 mod 8) = 1))
9487, 89, 933imtr4g 285 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}))
9545, 94vtoclga 3421 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
9639, 95syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
9718negnegd 10584 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → --𝐵 = 𝐵)
9897oveq1d 6807 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (--𝐵 mod 8) = (𝐵 mod 8))
9998eleq1d 2834 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → ((--𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
10096, 99sylibd 229 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
101 oveq1 6799 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 mod 8) = (𝐵 mod 8))
102101eleq1d 2834 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
103 negeq 10474 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐵 → -𝑥 = -𝐵)
104103oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (-𝑥 mod 8) = (-𝐵 mod 8))
105104eleq1d 2834 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
106102, 105imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (((𝑥 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝑥 mod 8) ∈ {1, 7}) ↔ ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7})))
107106, 94vtoclga 3421 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} → (-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
108100, 107impbid 202 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
109108ad2antlr 698 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → ((-𝐵 mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11038, 109bitrd 268 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) = 7) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
11123, 110jaodan 938 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 mod 8) = 1 ∨ (𝐴 mod 8) = 7)) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
1122, 111sylan2b 573 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 mod 8) ∈ {1, 7}) → (((𝐴 · 𝐵) mod 8) ∈ {1, 7} ↔ (𝐵 mod 8) ∈ {1, 7}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  {cpr 4316  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  1c1 10138   · cmul 10142  -cneg 10468  3c3 11272  5c5 11274  7c7 11276  8c8 11277  cz 11578  +crp 12034   mod cmo 12875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fl 12800  df-mod 12876
This theorem is referenced by:  lgsdir2  25275
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