Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem3 25273
 Description: Lemma for lgsdir2 25276. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))

Proof of Theorem lgsdir2lem3
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 8nn 11393 . . . 4 8 ∈ ℕ
3 zmodfz 12900 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
41, 2, 3sylancl 574 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...(8 − 1)))
5 8cn 11308 . . . . 5 8 ∈ ℂ
6 ax-1cn 10196 . . . . 5 1 ∈ ℂ
7 7cn 11306 . . . . 5 7 ∈ ℂ
86, 7addcomi 10429 . . . . . 6 (1 + 7) = (7 + 1)
9 df-8 11287 . . . . . 6 8 = (7 + 1)
108, 9eqtr4i 2796 . . . . 5 (1 + 7) = 8
115, 6, 7, 10subaddrii 10572 . . . 4 (8 − 1) = 7
1211oveq2i 6804 . . 3 (0...(8 − 1)) = (0...7)
134, 12syl6eleq 2860 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ (0...7))
14 neg1z 11615 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℤ
15 2z 11611 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
16 dvds0 15206 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ∥ 0
18 1pneg1e0 11331 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
19 neg1cn 11326 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℂ
206, 19addcomi 10429 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = (-1 + 1)
2118, 20eqtr3i 2795 . . . . . . . . 9 0 = (-1 + 1)
2217, 21breqtri 4811 . . . . . . . 8 2 ∥ (-1 + 1)
23 noel 4067 . . . . . . . . . . 11 ¬ (𝐴 mod 8) ∈ ∅
2423pm2.21i 117 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 mod 8) ∈ ∅ → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
25 neg1lt0 11329 . . . . . . . . . . 11 -1 < 0
26 0z 11590 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
27 fzn 12564 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅))
2826, 14, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . 11 (-1 < 0 ↔ (0...-1) = ∅)
2925, 28mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (0...-1) = ∅
3024, 29eleq2s 2868 . . . . . . . . 9 ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
3214, 22, 313pm3.2i 1423 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (-1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...-1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
33 1e0p1 11754 . . . . . . 7 1 = (0 + 1)
34 ssun1 3927 . . . . . . . 8 {1, 7} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
35 1ex 10237 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3635prid1 4433 . . . . . . . 8 1 ∈ {1, 7}
3734, 36sselii 3749 . . . . . . 7 1 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
3832, 21, 33, 37lgsdir2lem2 25272 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (1 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...1) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
39 df-2 11281 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
40 df-3 11282 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
41 ssun2 3928 . . . . . . 7 {3, 5} ⊆ ({1, 7} ∪ {3, 5})
42 3ex 11298 . . . . . . . 8 3 ∈ V
4342prid1 4433 . . . . . . 7 3 ∈ {3, 5}
4441, 43sselii 3749 . . . . . 6 3 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
4538, 39, 40, 44lgsdir2lem2 25272 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (3 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...3) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
46 df-4 11283 . . . . 5 4 = (3 + 1)
47 df-5 11284 . . . . 5 5 = (4 + 1)
48 5nn 11390 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ
4948elexi 3365 . . . . . . 7 5 ∈ V
5049prid2 4434 . . . . . 6 5 ∈ {3, 5}
5141, 50sselii 3749 . . . . 5 5 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5245, 46, 47, 51lgsdir2lem2 25272 . . . 4 (5 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (5 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...5) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
53 df-6 11285 . . . 4 6 = (5 + 1)
54 df-7 11286 . . . 4 7 = (6 + 1)
55 7nn 11392 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ
5655elexi 3365 . . . . . 6 7 ∈ V
5756prid2 4434 . . . . 5 7 ∈ {1, 7}
5834, 57sselii 3749 . . . 4 7 ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})
5952, 53, 54, 58lgsdir2lem2 25272 . . 3 (7 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ (7 + 1) ∧ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))))
6059simp3i 1135 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → ((𝐴 mod 8) ∈ (0...7) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5})))
6113, 60mpd 15 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) → (𝐴 mod 8) ∈ ({1, 7} ∪ {3, 5}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3721  ∅c0 4063  {cpr 4318   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276   − cmin 10468  -cneg 10469  ℕcn 11222  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  ℤcz 11579  ...cfz 12533   mod cmo 12876   ∥ cdvds 15189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-dvds 15190 This theorem is referenced by:  lgsdir2  25276  2lgslem3  25350  2lgsoddprmlem3  25360
 Copyright terms: Public domain W3C validator