MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdir2lem1 25249
Description: Lemma for lgsdir2 25254. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2lem1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))

Proof of Theorem lgsdir2lem1
StepHypRef Expression
1 1re 10231 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 8re 11297 . . . . 5 8 ∈ ℝ
3 8pos 11313 . . . . 5 0 < 8
42, 3elrpii 12028 . . . 4 8 ∈ ℝ+
5 0le1 10743 . . . 4 0 ≤ 1
6 1lt8 11413 . . . 4 1 < 8
7 modid 12889 . . . 4 (((1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 8)) → (1 mod 8) = 1)
81, 4, 5, 6, 7mp4an 711 . . 3 (1 mod 8) = 1
9 8cn 11298 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
109mulid2i 10235 . . . . . . 7 (1 · 8) = 8
1110oveq2i 6824 . . . . . 6 (-1 + (1 · 8)) = (-1 + 8)
12 ax-1cn 10186 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1312negcli 10541 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
149, 12negsubi 10551 . . . . . . . 8 (8 + -1) = (8 − 1)
15 7cn 11296 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
1612, 15addcomi 10419 . . . . . . . . . 10 (1 + 7) = (7 + 1)
17 df-8 11277 . . . . . . . . . 10 8 = (7 + 1)
1816, 17eqtr4i 2785 . . . . . . . . 9 (1 + 7) = 8
199, 12, 15, 18subaddrii 10562 . . . . . . . 8 (8 − 1) = 7
2014, 19eqtri 2782 . . . . . . 7 (8 + -1) = 7
219, 13, 20addcomli 10420 . . . . . 6 (-1 + 8) = 7
2211, 21eqtri 2782 . . . . 5 (-1 + (1 · 8)) = 7
2322oveq1i 6823 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (7 mod 8)
241renegcli 10534 . . . . 5 -1 ∈ ℝ
25 1z 11599 . . . . 5 1 ∈ ℤ
26 modcyc 12899 . . . . 5 ((-1 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8))
2724, 4, 25, 26mp3an 1573 . . . 4 ((-1 + (1 · 8)) mod 8) = (-1 mod 8)
28 7re 11295 . . . . 5 7 ∈ ℝ
29 0re 10232 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
30 7pos 11312 . . . . . 6 0 < 7
3129, 28, 30ltleii 10352 . . . . 5 0 ≤ 7
32 7lt8 11407 . . . . 5 7 < 8
33 modid 12889 . . . . 5 (((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 7 ∧ 7 < 8)) → (7 mod 8) = 7)
3428, 4, 31, 32, 33mp4an 711 . . . 4 (7 mod 8) = 7
3523, 27, 343eqtr3i 2790 . . 3 (-1 mod 8) = 7
368, 35pm3.2i 470 . 2 ((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7)
37 3re 11286 . . . 4 3 ∈ ℝ
38 3pos 11306 . . . . 5 0 < 3
3929, 37, 38ltleii 10352 . . . 4 0 ≤ 3
40 3lt8 11411 . . . 4 3 < 8
41 modid 12889 . . . 4 (((3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 3 ∧ 3 < 8)) → (3 mod 8) = 3)
4237, 4, 39, 40, 41mp4an 711 . . 3 (3 mod 8) = 3
4310oveq2i 6824 . . . . . 6 (-3 + (1 · 8)) = (-3 + 8)
44 3cn 11287 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
4544negcli 10541 . . . . . . 7 -3 ∈ ℂ
469, 44negsubi 10551 . . . . . . . 8 (8 + -3) = (8 − 3)
47 5cn 11292 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
48 5p3e8 11358 . . . . . . . . . 10 (5 + 3) = 8
4947, 44, 48addcomli 10420 . . . . . . . . 9 (3 + 5) = 8
509, 44, 47, 49subaddrii 10562 . . . . . . . 8 (8 − 3) = 5
5146, 50eqtri 2782 . . . . . . 7 (8 + -3) = 5
529, 45, 51addcomli 10420 . . . . . 6 (-3 + 8) = 5
5343, 52eqtri 2782 . . . . 5 (-3 + (1 · 8)) = 5
5453oveq1i 6823 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (5 mod 8)
5537renegcli 10534 . . . . 5 -3 ∈ ℝ
56 modcyc 12899 . . . . 5 ((-3 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8))
5755, 4, 25, 56mp3an 1573 . . . 4 ((-3 + (1 · 8)) mod 8) = (-3 mod 8)
58 5re 11291 . . . . 5 5 ∈ ℝ
59 5pos 11310 . . . . . 6 0 < 5
6029, 58, 59ltleii 10352 . . . . 5 0 ≤ 5
61 5lt8 11409 . . . . 5 5 < 8
62 modid 12889 . . . . 5 (((5 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 8)) → (5 mod 8) = 5)
6358, 4, 60, 61, 62mp4an 711 . . . 4 (5 mod 8) = 5
6454, 57, 633eqtr3i 2790 . . 3 (-3 mod 8) = 5
6542, 64pm3.2i 470 . 2 ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5)
6636, 65pm3.2i 470 1 (((1 mod 8) = 1 ∧ (-1 mod 8) = 7) ∧ ((3 mod 8) = 3 ∧ (-3 mod 8) = 5))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459  3c3 11263  5c5 11265  7c7 11267  8c8 11268  cz 11569  +crp 12025   mod cmo 12862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fl 12787  df-mod 12863
This theorem is referenced by:  lgsdir2lem4  25252  lgsdir2lem5  25253
  Copyright terms: Public domain W3C validator