MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdilem2 25178
Description: Lemma for lgsdi 25179. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsdilem2.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsdilem2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lgsdilem2.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
lgsdilem2.4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
lgsdilem2.5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
lgsdilem2.6 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
Assertion
Ref Expression
lgsdilem2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem lgsdilem2
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulid1 10150 . . 3 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 · 1) = 𝑘)
21adantl 473 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℂ) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
3 lgsdilem2.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 lgsdilem2.4 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
5 nnabscl 14185 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
63, 4, 5syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
7 nnuz 11837 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
86, 7syl6eleq 2813 . 2 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ (ℤ‘1))
96nnzd 11594 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
10 lgsdilem2.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
113, 10zmulcld 11601 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
123zcnd 11596 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1310zcnd 11596 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
14 lgsdilem2.5 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1512, 13, 4, 14mulne0d 10792 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
16 nnabscl 14185 . . . . 5 (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
1711, 15, 16syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℕ)
1817nnzd 11594 . . 3 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ)
1912abscld 14295 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
2013abscld 14295 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
2112absge0d 14303 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑀))
22 nnabscl 14185 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
2310, 14, 22syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
2423nnge1d 11176 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (abs‘𝑁))
2519, 20, 21, 24lemulge11d 11074 . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
2612, 13absmuld 14313 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = ((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁)))
2725, 26breqtrrd 4788 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
28 eluz2 11806 . . 3 ((abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)) ↔ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘(𝑀 · 𝑁))))
299, 18, 27, 28syl3anbrc 1383 . 2 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∈ (ℤ‘(abs‘𝑀)))
30 lgsdilem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
31 lgsdilem2.6 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1))
3231lgsfcl3 25163 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐹:ℕ⟶ℤ)
3330, 3, 4, 32syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℤ)
34 elfznn 12484 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
35 ffvelrn 6472 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
3633, 34, 35syl2an 495 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
3736zcnd 11596 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(abs‘𝑀))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
38 mulcl 10133 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
3938adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
408, 37, 39seqcl 12936 . 2 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
416peano2nnd 11150 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ)
42 elfzuz 12452 . . . . 5 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1)))
43 eluznn 11872 . . . . 5 ((((abs‘𝑀) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((abs‘𝑀) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
4441, 42, 43syl2an 495 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
45 eleq1 2791 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑘 ∈ ℙ))
46 oveq2 6773 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 /L 𝑛) = (𝐴 /L 𝑘))
47 oveq1 6772 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 pCnt 𝑀) = (𝑘 pCnt 𝑀))
4846, 47oveq12d 6783 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)))
4945, 48ifbieq1d 4217 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → if(𝑛 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑛)↑(𝑛 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
50 ovex 6793 . . . . . 6 ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) ∈ V
51 1ex 10148 . . . . . 6 1 ∈ V
5250, 51ifex 4264 . . . . 5 if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) ∈ V
5349, 31, 52fvmpt 6396 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
5444, 53syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1))
55 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℙ)
563ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 zq 11908 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℚ)
59 pcabs 15702 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℚ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
6055, 58, 59syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = (𝑘 pCnt 𝑀))
61 elfzle1 12458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
6261adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘)
63 elfzelz 12456 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
64 zltp1le 11540 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
659, 63, 64syl2an 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ((abs‘𝑀) + 1) ≤ 𝑘))
6662, 65mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) < 𝑘)
6719adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
6863adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
6968zred 11595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7067, 69ltnled 10297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ((abs‘𝑀) < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7166, 70mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
7271adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ≤ (abs‘𝑀))
73 prmz 15512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℙ → 𝑘 ∈ ℤ)
7473adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℤ)
754ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝑀 ≠ 0)
7656, 75, 5syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
77 dvdsle 15155 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7874, 76, 77syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 ∥ (abs‘𝑀) → 𝑘 ≤ (abs‘𝑀)))
7972, 78mtod 189 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀))
80 pceq0 15698 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
8155, 76, 80syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∥ (abs‘𝑀)))
8279, 81mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt (abs‘𝑀)) = 0)
8360, 82eqtr3d 2760 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝑘 pCnt 𝑀) = 0)
8483oveq2d 6781 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = ((𝐴 /L 𝑘)↑0))
8530ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
86 lgscl 25156 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
8785, 74, 86syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℤ)
8887zcnd 11596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → (𝐴 /L 𝑘) ∈ ℂ)
8988exp0d 13117 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑0) = 1)
9084, 89eqtrd 2758 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) ∧ 𝑘 ∈ ℙ) → ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)) = 1)
9190ifeq1da 4224 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1))
92 ifid 4233 . . . 4 if(𝑘 ∈ ℙ, 1, 1) = 1
9391, 92syl6eq 2774 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → if(𝑘 ∈ ℙ, ((𝐴 /L 𝑘)↑(𝑘 pCnt 𝑀)), 1) = 1)
9454, 93eqtrd 2758 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (((abs‘𝑀) + 1)...(abs‘(𝑀 · 𝑁)))) → (𝐹𝑘) = 1)
952, 8, 29, 40, 94seqid2 12962 1 (𝜑 → (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘𝑀)) = (seq1( · , 𝐹)‘(abs‘(𝑀 · 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  ifcif 4194   class class class wbr 4760  cmpt 4837  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188  cn 11133  cz 11490  cuz 11800  cq 11902  ...cfz 12440  seqcseq 12916  cexp 12975  abscabs 14094  cdvds 15103  cprime 15508   pCnt cpc 15664   /L clgs 25139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-prm 15509  df-phi 15594  df-pc 15665  df-lgs 25140
This theorem is referenced by:  lgsdi  25179
  Copyright terms: Public domain W3C validator