MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem4 24949
Description: Lemma for lgamgulm 24952. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑧   𝜑,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11369 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 lgamgulm.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
42, 3nnmulcld 11252 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℕ)
54nnzd 11665 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℤ)
6 eluzle 11884 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅)) → (2 · 𝑅) ≤ 𝑛)
76adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → (2 · 𝑅) ≤ 𝑛)
87iftrued 4230 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
9 eluznn 11943 . . . . . . 7 (((2 · 𝑅) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
104, 9sylan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
11 breq2 4800 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑚 ↔ (2 · 𝑅) ≤ 𝑛))
12 oveq1 6812 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚↑2) = (𝑛↑2))
1312oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) = ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2)))
1413oveq2d 6821 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
15 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
1715, 16oveq12d 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1817fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1918oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
20 oveq2 6813 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑅 + 1) · 𝑚) = ((𝑅 + 1) · 𝑛))
2120fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) = (log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)))
2221oveq1d 6820 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) = ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))
2319, 22oveq12d 6823 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) = ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π)))
2411, 14, 23ifbieq12d 4249 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
25 lgamgulm.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
26 ovex 6833 . . . . . . . 8 (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) ∈ V
27 ovex 6833 . . . . . . . 8 ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π)) ∈ V
2826, 27ifex 4292 . . . . . . 7 if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))) ∈ V
2924, 25, 28fvmpt 6436 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑇𝑛) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
3010, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → (𝑇𝑛) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
31 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))
3214, 31, 26fvmpt 6436 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
3310, 32syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
348, 30, 333eqtr4d 2796 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → (𝑇𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛))
355, 34seqfeq 13012 . . 3 (𝜑 → seq(2 · 𝑅)( + , 𝑇) = seq(2 · 𝑅)( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))))
36 nnuz 11908 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
37 1zzd 11592 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
383nncnd 11220 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
39 2cnd 11277 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
40 1cnd 10240 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4138, 40addcld 10243 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 10244 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℂ)
4338, 42mulcld 10244 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) ∈ ℂ)
44 1lt2 11378 . . . . . . . . . 10 1 < 2
45 2re 11274 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
46 rere 14053 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (ℜ‘2) = 2)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℜ‘2) = 2
4844, 47breqtrri 4823 . . . . . . . . 9 1 < (ℜ‘2)
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (ℜ‘2))
50 oveq1 6812 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑐-2) = (𝑛𝑐-2))
51 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))
52 ovex 6833 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑐-2) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt 6436 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛) = (𝑛𝑐-2))
5453adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛) = (𝑛𝑐-2))
5539, 49, 54zetacvg 24932 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ∈ dom ⇝ )
56 climdm 14476 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2)))))
5755, 56sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2)))))
58 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
5958nncnd 11220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
60 2cnd 11277 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
6160negcld 10563 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
6259, 61cxpcld 24645 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝑐-2) ∈ ℂ)
6354, 62eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛) ∈ ℂ)
6438adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
65 1cnd 10240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6664, 65addcld 10243 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
6760, 66mulcld 10244 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℂ)
6864, 67mulcld 10244 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) ∈ ℂ)
6959sqcld 13192 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
7058nnne0d 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
71 2z 11593 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
7271a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
7359, 70, 72expne0d 13200 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ≠ 0)
7468, 69, 73divrecd 10988 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) / (𝑛↑2)) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (1 / (𝑛↑2))))
7564, 67, 69, 73divassd 11020 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) / (𝑛↑2)) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
7659, 70, 60cxpnegd 24652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝑐-2) = (1 / (𝑛𝑐2)))
7759, 70, 72cxpexpzd 24648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝑐2) = (𝑛↑2))
7877oveq2d 6821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / (𝑛𝑐2)) = (1 / (𝑛↑2)))
7976, 78eqtr2d 2787 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / (𝑛↑2)) = (𝑛𝑐-2))
8079oveq2d 6821 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (1 / (𝑛↑2))) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (𝑛𝑐-2)))
8174, 75, 803eqtr3d 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (𝑛𝑐-2)))
8232adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
8354oveq2d 6821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛)) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (𝑛𝑐-2)))
8481, 82, 833eqtr4d 2796 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛)))
8536, 37, 43, 57, 63, 84isermulc2 14579 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ⇝ ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))))))
86 climrel 14414 . . . . . 6 Rel ⇝
8786releldmi 5509 . . . . 5 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ⇝ ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))))) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ )
8885, 87syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ )
8967, 69, 73divcld 10985 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
9064, 89mulcld 10244 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
9182, 90eqeltrd 2831 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
9236, 4, 91iserex 14578 . . . 4 (𝜑 → (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq(2 · 𝑅)( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ ))
9388, 92mpbid 222 . . 3 (𝜑 → seq(2 · 𝑅)( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ )
9435, 93eqeltrd 2831 . 2 (𝜑 → seq(2 · 𝑅)( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
9529adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
963adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
9796nnred 11219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
9845a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
99 1red 10239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
10097, 99readdcld 10253 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
10198, 100remulcld 10254 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
10258nnsqcld 13215 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ∈ ℕ)
103101, 102nndivred 11253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2)) ∈ ℝ)
10497, 103remulcld 10254 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) ∈ ℝ)
10558peano2nnd 11221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
106105nnrpd 12055 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
10758nnrpd 12055 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
108106, 107rpdivcld 12074 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
109108relogcld 24560 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
11097, 109remulcld 10254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℝ)
11196peano2nnd 11221 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
112111nnrpd 12055 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
113112, 107rpmulcld 12073 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑛) ∈ ℝ+)
114113relogcld 24560 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) ∈ ℝ)
115 pire 24401 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
116115a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
117114, 116readdcld 10253 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π) ∈ ℝ)
118110, 117readdcld 10253 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π)) ∈ ℝ)
119104, 118ifcld 4267 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))) ∈ ℝ)
12095, 119eqeltrd 2831 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
121120recnd 10252 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
12236, 4, 121iserex 14578 . 2 (𝜑 → (seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ ↔ seq(2 · 𝑅)( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ ))
12394, 122mpbird 247 1 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  {crab 3046  ifcif 4222   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561  cuz 11871  seqcseq 12987  cexp 13046  cre 14028  abscabs 14165  cli 14406  πcpi 14988  logclog 24492  𝑐ccxp 24493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-log 24494  df-cxp 24495
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  24951
  Copyright terms: Public domain W3C validator