MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem3 24956
Description: Lemma for lgamgulm 24960. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgamgulm.a (𝜑𝐴𝑈)
lgamgulm.l (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑘,𝑅   𝐴,𝑘,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem3
StepHypRef Expression
1 lgamgulm.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
2 lgamgulm.u . . . . . . . 8 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
31, 2lgamgulmlem1 24954 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
4 lgamgulm.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑈)
53, 4sseldd 3745 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
65eldifad 3727 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
87peano2nnd 11229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
98nnrpd 12063 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
107nnrpd 12063 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 12082 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
1211relogcld 24568 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
1312recnd 10260 . . . . 5 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℂ)
146, 13mulcld 10252 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ∈ ℂ)
157nncnd 11228 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
167nnne0d 11257 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≠ 0)
176, 15, 16divcld 10993 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
18 1cnd 10248 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1917, 18addcld 10251 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
205, 7dmgmdivn0 24953 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0)
2119, 20logcld 24516 . . . 4 (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
2214, 21subcld 10584 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
2322abscld 14374 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ∈ ℝ)
2414, 17subcld 10584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ)
2524abscld 14374 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) ∈ ℝ)
2617, 21subcld 10584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
2726abscld 14374 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ∈ ℝ)
2825, 27readdcld 10261 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ∈ ℝ)
291nnred 11227 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
30 2re 11282 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
32 1red 10247 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3329, 32readdcld 10261 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 10262 . . . 4 (𝜑 → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
357nnsqcld 13223 . . . 4 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
3634, 35nndivred 11261 . . 3 (𝜑 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)) ∈ ℝ)
3729, 36remulcld 10262 . 2 (𝜑 → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))) ∈ ℝ)
3814, 21, 17abs3difd 14398 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))))
397nnrecred 11258 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
408nnrecred 11258 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4139, 40resubcld 10650 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
4229, 41remulcld 10262 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) ∈ ℝ)
4331, 29remulcld 10262 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
447nnred 11227 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
451nnrpd 12063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
4629, 45ltaddrpd 12098 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 𝑅))
471nncnd 11228 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
48472timesd 11467 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
4946, 48breqtrrd 4832 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (2 · 𝑅))
50 lgamgulm.l . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
5129, 43, 44, 49, 50ltletrd 10389 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 < 𝑁)
52 difrp 12061 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
5329, 44, 52syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
5451, 53mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
5554rprecred 12076 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
5655, 39resubcld 10650 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5729, 56remulcld 10262 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
5842, 57readdcld 10261 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
596, 15, 16divrecd 10996 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) = (𝐴 · (1 / 𝑁)))
6059oveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) = ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 · (1 / 𝑁))))
6139recnd 10260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
626, 13, 61subdid 10678 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) = ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 · (1 / 𝑁))))
6360, 62eqtr4d 2797 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁)) = (𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))))
6463fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) = (abs‘(𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
6513, 61subcld 10584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
666, 65absmuld 14392 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴 · ((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
6764, 66eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) = ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))))
686abscld 14374 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6965abscld 14374 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
706absge0d 14382 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
7165absge0d 14382 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))))
72 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
7372breq1d 4814 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅))
74 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + 𝑘) = (𝐴 + 𝑘))
7574fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘)))
7675breq2d 4816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7776ralbidv 3124 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7873, 77anbi12d 749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7978, 2elrab2 3507 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
8079simprbi 483 . . . . . . . 8 (𝐴𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
814, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
8281simpld 477 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
839, 10relogdivd 24571 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
84 logdifbnd 24919 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8510, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8683, 85eqbrtrd 4826 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ≤ (1 / 𝑁))
8712, 39, 86abssuble0d 14370 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) = ((1 / 𝑁) − (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
88 logdiflbnd 24920 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
8910, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
9089, 83breqtrrd 4832 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
9140, 12, 39, 90lesub2dd 10836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) ≤ ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))))
9287, 91eqbrtrd 4826 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁))) ≤ ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))))
9368, 29, 69, 41, 70, 71, 82, 92lemul12ad 11158 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (abs‘((log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) − (1 / 𝑁)))) ≤ (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))))
9467, 93eqbrtrd 4826 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) ≤ (𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))))
951, 2, 7, 4, 50lgamgulmlem2 24955 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
9625, 27, 42, 57, 94, 95le2addd 10838 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ≤ ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
9715, 47subcld 10584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
9815, 18addcld 10251 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
9929, 51gtned 10364 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁𝑅)
10015, 47, 99subne0d 10593 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑅) ≠ 0)
1018nnne0d 11257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
10297, 98, 100, 101subrecd 11048 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))))
10315, 18, 47pnncand 10623 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) = (1 + 𝑅))
10418, 47addcomd 10430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + 𝑅) = (𝑅 + 1))
105103, 104eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) = (𝑅 + 1))
106105oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁 + 1) − (𝑁𝑅)) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) = ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))))
107102, 106eqtr2d 2795 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) = ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))))
108107oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) = (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1)))))
10998, 101reccld 10986 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
11097, 100reccld 10986 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
11161, 109, 110npncan3d 10620 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))))
112111eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
113112oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / (𝑁 + 1)))) = (𝑅 · (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
11441recnd 10260 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
11556recnd 10260 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
11647, 114, 115adddid 10256 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 · (((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1))) + ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
117108, 113, 1163eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) = ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
11854, 9rpmulcld 12081 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
11933, 118rerpdivcld 12096 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
12045rpge0d 12069 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
121 2z 11601 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
12310, 122rpexpcld 13226 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
124123rphalfcld 12077 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℝ+)
125 0le1 10743 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
126125a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
12729, 32, 120, 126addge0d 10795 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑅 + 1))
12815sqvald 13199 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
129128oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
13031recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
131 2ne0 11305 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
132131a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
13315, 15, 130, 132div23d 11030 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = ((𝑁 / 2) · 𝑁))
134129, 133eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 / 2) · 𝑁))
13544rehalfcld 11471 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
13644, 29resubcld 10650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ)
13744, 32readdcld 10261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
138 2rp 12030 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
139138a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
14010rpge0d 12069 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
14144, 139, 140divge0d 12105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
14229, 44, 139lemuldiv2d 12115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁𝑅 ≤ (𝑁 / 2)))
14350, 142mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 / 2))
144152halvesd 11470 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁)
145135recnd 10260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 / 2) ∈ ℂ)
14615, 145, 145subaddd 10602 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2) ↔ ((𝑁 / 2) + (𝑁 / 2)) = 𝑁))
147144, 146mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − (𝑁 / 2)) = (𝑁 / 2))
148143, 147breqtrrd 4832 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 − (𝑁 / 2)))
14929, 44, 135, 148lesubd 10823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 / 2) ≤ (𝑁𝑅))
15044lep1d 11147 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
151135, 136, 44, 137, 141, 140, 149, 150lemul12ad 11158 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 / 2) · 𝑁) ≤ ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))
152134, 151eqbrtrd 4826 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁↑2) / 2) ≤ ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))
153124, 118, 33, 127, 152lediv2ad 12087 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ≤ ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)))
1541peano2nnd 11229 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
155154nncnd 11228 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
15635nncnd 11228 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
15735nnne0d 11257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁↑2) ≠ 0)
158155, 156, 130, 157, 132divdiv2d 11025 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)) = (((𝑅 + 1) · 2) / (𝑁↑2)))
159155, 130mulcomd 10253 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 + 1) · 2) = (2 · (𝑅 + 1)))
160159oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑅 + 1) · 2) / (𝑁↑2)) = ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)))
161158, 160eqtr2d 2795 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)) = ((𝑅 + 1) / ((𝑁↑2) / 2)))
162153, 161breqtrrd 4832 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2)))
163119, 36, 29, 120, 162lemul2ad 11156 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((𝑅 + 1) / ((𝑁𝑅) · (𝑁 + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
164117, 163eqbrtrrd 4828 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / 𝑁) − (1 / (𝑁 + 1)))) + (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
16528, 58, 37, 96, 164letrd 10386 . 2 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (𝐴 / 𝑁))) + (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
16623, 28, 37, 38, 165letrd 10386 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 · (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑁↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  {crab 3054  cdif 3712   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  +crp 12025  cexp 13054  abscabs 14173  logclog 24500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-tan 15001  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem5  24958
  Copyright terms: Public domain W3C validator