MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem2 24801
Description: Lemma for lgamgulm 24806. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgamgulm.a (𝜑𝐴𝑈)
lgamgulm.l (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑘,𝑅   𝐴,𝑘,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem2
Dummy variables 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1elunit 12329 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
2 0elunit 12328 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
3 0red 10079 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4 1red 10093 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5 eqid 2651 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
65subcn 22716 . . . . . 6 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8 lgamgulm.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
9 lgamgulm.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
108, 9lgamgulmlem1 24800 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
11 lgamgulm.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑈)
1210, 11sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1312eldifad 3619 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
14 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 11073 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1615recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1714nnne0d 11103 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1813, 16, 17divcld 10839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
19 unitssre 12357 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
20 ax-resscn 10031 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2119, 20sstri 3645 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℂ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
23 ssid 3657 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
25 cncfmptc 22761 . . . . . . 7 (((𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
2618, 22, 24, 25syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
27 cncfmptid 22762 . . . . . . 7 (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
2821, 24, 27sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
2926, 28mulcncf 23261 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
3018adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
31 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
3219, 31sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
3332recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
3430, 33mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
35 1cnd 10094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
3634, 35addcld 10097 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
37 rere 13906 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
3936recld 13978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ)
4034recld 13978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
4140recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
4241abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
4334abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
44 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
45 absrele 14092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
4634, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
4744rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
488nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
5014adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5149, 50nndivred 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ)
5218abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5430absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
55 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ ℝ
56 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℝ
5755, 56elicc2i 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
5857simp2bi 1097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
6013, 16, 17absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
6114nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
6261rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
6315, 62absidd 14205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
6463oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
6560, 64eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) = (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
6613abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
67 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
6867breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅))
69 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 + 𝑘) = (𝐴 + 𝑘))
7069fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘)))
7170breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7271ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7368, 72anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7473, 9elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐴𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7574simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7611, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7776simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
7866, 48, 61, 77lediv1dd 11968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) ≤ (𝑅 / 𝑁))
7965, 78eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
8157simp3bi 1098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
8353, 51, 32, 44, 54, 59, 80, 82lemul12ad 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) ≤ ((𝑅 / 𝑁) · 1))
8430, 33absmuld 14237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)))
8532, 59absidd 14205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑡) = 𝑡)
8685oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡))
8784, 86eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
8851recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℂ)
8988mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑅 / 𝑁) · 1) = (𝑅 / 𝑁))
9083, 87, 893brtr3d 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
91 lgamgulm.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
92 2rp 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ+
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
9448, 15, 93lemuldiv2d 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁𝑅 ≤ (𝑁 / 2)))
9591, 94mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 / 2))
96 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
97 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ≠ 0
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9916, 96, 98divrecd 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
10095, 99breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2)))
1014rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
10248, 101, 61ledivmuld 11963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2) ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2))))
103100, 102mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
104103adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
10543, 51, 47, 90, 104letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (1 / 2))
106 halflt1 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / 2) < 1
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) < 1)
10843, 47, 44, 105, 107lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)
10942, 43, 44, 46, 108lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1)
11040, 44absltd 14212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1 ↔ (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)))
111109, 110mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1))
112111simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
11344renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 ∈ ℝ)
114113, 40posdifd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ↔ 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1)))
115112, 114mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1))
11641, 35subnegd 10437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
117115, 116breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
11834, 35readdd 13998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)))
119 re1 13938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘1) = 1
120119oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)
121118, 120syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
122117, 121breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
12339, 122elrpd 11907 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ+)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ+)
12538, 124eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ+)
126125ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ+))
127 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
128127ellogdm 24430 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ+)))
12936, 126, 128sylanbrc 699 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
130 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
131127logcn 24438 . . . . . . . . . . 11 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
132131a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ))
133 cncff 22743 . . . . . . . . . 10 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
135134feqmptd 6288 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)))
136 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦) = ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
137129, 130, 135, 136fmptco 6436 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
138 fvres 6245 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
139129, 138syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
140139mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
141137, 140eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
142 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
143129, 142fmptd 6425 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
144 difss 3770 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
1455addcn 22715 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
146145a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
147 1cnd 10094 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
148 cncfmptc 22761 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
149147, 22, 24, 148syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
1505, 146, 29, 149cncfmpt2f 22764 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
151 cncffvrn 22748 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
152144, 150, 151sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
153143, 152mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
154153, 132cncfco 22757 . . . . . 6 (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
155141, 154eqeltrrd 2731 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
1565, 7, 29, 155cncfmpt2f 22764 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
15720a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
15819a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℝ)
159127logdmn0 24431 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
160129, 159syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
16136, 160logcld 24362 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
16234, 161subcld 10430 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
1635tgioo2 22653 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
164 iccntr 22671 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
16555, 4, 164sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
166157, 158, 162, 163, 5, 165dvmptntr 23779 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
167 reelprrecn 10066 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
168167a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16913adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17016adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
17117adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ≠ 0)
172169, 170, 171divcld 10839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
173 ioossicc 12297 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
174173sseli 3632 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
175174, 33sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
176172, 175mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
17713adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17816adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17917adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ≠ 0)
180177, 178, 179divcld 10839 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
181157sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
182180, 181mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
183 1cnd 10094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
184168dvmptid 23765 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
185168, 181, 183, 184, 18dvmptcmul 23772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)))
18618mulid1d 10095 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
187186mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
188185, 187eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
189173, 158syl5ss 3647 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℝ)
190 retop 22612 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
191 iooretop 22616 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
192 isopn3i 20934 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
193190, 191, 192mp2an 708 . . . . . . . . . 10 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1)
194193a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
195168, 182, 180, 188, 189, 163, 5, 194dvmptres2 23770 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
196174, 161sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
197 1cnd 10094 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
198176, 197addcld 10097 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
199174, 160sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
200198, 199reccld 10832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
201200, 172mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ)
202 cnelprrecn 10067 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
203202a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
204174, 129sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
205 eldifi 3765 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
206205adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ∈ ℂ)
207127logdmn0 24431 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
208207adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ≠ 0)
209206, 208logcld 24362 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
210206, 208reccld 10832 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
211182, 183addcld 10097 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
212 0cnd 10071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
213168, 147dvmptc 23766 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
214168, 182, 180, 188, 183, 212, 213dvmptadd 23768 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)))
21518addid1d 10274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 0) = (𝐴 / 𝑁))
216215mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
217214, 216eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
218168, 211, 180, 217, 189, 163, 5, 194dvmptres2 23770 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
219 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦) = (log‘𝑦))
220219mpteq2ia 4773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))
221135, 220syl6req 2702 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
222221oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
223127dvlog 24442 . . . . . . . . . 10 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
224222, 223syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
225 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
226 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
227168, 203, 204, 172, 209, 210, 218, 224, 225, 226dvmptco 23780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
228168, 176, 172, 195, 196, 201, 227dvmptsub 23775 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
229166, 228eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
230229dmeqd 5358 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
231 ovex 6718 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V
232 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
233231, 232dmmpti 6061 . . . . 5 dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (0(,)1)
234230, 233syl6eq 2701 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (0(,)1))
235 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
236235a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
237236, 48remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
2388nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
23948, 238ltaddrpd 11943 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 𝑅))
24048recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
2412402timesd 11313 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
242239, 241breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (2 · 𝑅))
24348, 237, 15, 242, 91ltletrd 10235 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 < 𝑁)
244 difrp 11906 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
24548, 15, 244syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
246243, 245mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
247246rprecred 11921 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
24814nnrecred 11104 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
249247, 248resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
25048, 249remulcld 10108 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
251229fveq1d 6231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
252251fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
253252adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
254 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑦 ∈ (0(,)1))
255 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑡abs
256 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . 9 𝑡((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)
257255, 256nffv 6236 . . . . . . . 8 𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
258 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑡
259 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑡(𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))
260257, 258, 259nfbr 4732 . . . . . . 7 𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))
261254, 260nfim 1865 . . . . . 6 𝑡((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
262 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↔ 𝑦 ∈ (0(,)1)))
263262anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (0(,)1))))
264 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑦 → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
265264fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
266265breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → ((abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
267263, 266imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑦 → (((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
268 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
269232fvmpt2 6330 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
270268, 231, 269sylancl 695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
271270fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
272172, 197, 200subdid 10524 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
273172mulid1d 10095 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
274172, 200mulcomd 10099 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))
275273, 274oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
276272, 275eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) = ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
277276fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
278169, 170, 171absdivd 14238 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
27915adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
28062adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 𝑁)
281279, 280absidd 14205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
282281oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
283278, 282eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
284283oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
285197, 200subcld 10430 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
286172, 285absmuld 14237 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
28766adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
288287recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
289285abscld 14219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℝ)
290289recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℂ)
291288, 290, 170, 171div23d 10876 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
292284, 286, 2913eqtr4d 2695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
293271, 277, 2923eqtrd 2689 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
29448adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
295247adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
296248adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
297295, 296resubcld 10496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
298279, 297remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
29913absge0d 14227 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
300299adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
301285absge0d 14227 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
30277adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
303246adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
304238adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
305303, 304rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ+)
30612dmgmn0 24797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ≠ 0)
307306adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ≠ 0)
308169, 170, 307, 171divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ≠ 0)
309 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑡𝑡 < 1))
310309adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑡𝑡 < 1))
311310simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑡)
312311gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ≠ 0)
313172, 175, 308, 312mulne0d 10717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ≠ 0)
314176, 313reccld 10832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
315197, 314addcld 10097 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℂ)
316176, 197, 176, 313divdird 10877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
317176, 313dividd 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = 1)
318317oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
319316, 318eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
320198, 176, 199, 313divne0d 10855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≠ 0)
321319, 320eqnetrrd 2891 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≠ 0)
322315, 321absrpcld 14231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ+)
323 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
324 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
325324a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 1)
326305rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
327314negcld 10417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
328327abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
329328, 323resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ∈ ℝ)
330315abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ)
331240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℂ)
332304rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ≠ 0)
333170, 331, 331, 332divsubdird 10878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)))
334331, 332dividd 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
335334oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
336333, 335eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
337279, 304rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ∈ ℝ)
338331, 170, 332, 171recdivd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) = (𝑁 / 𝑅))
339174, 90sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
340176, 313absrpcld 14231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ+)
34161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
342304, 341rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ+)
343340, 342lerecd 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁) ↔ (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
344339, 343mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
345338, 344eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
346314absnegd 14232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
347197, 176, 313absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
348 abs1 14081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs‘1) = 1
349348oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
350347, 349syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
351346, 350eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
352345, 351breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
353337, 328, 323, 352lesub1dd 10681 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − 1) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
354336, 353eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
355348oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) = ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1)
356327, 197abs2difd 14240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
357355, 356syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
358197, 314addcomd 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
359358negeqd 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
360314, 197negdi2d 10444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
361359, 360eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
362361fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
363315absnegd 14232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
364362, 363eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
365357, 364breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
366326, 329, 330, 354, 365letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
367305, 322, 323, 325, 366lediv2ad 11932 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ (1 / ((𝑁𝑅) / 𝑅)))
36816, 240subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
369368adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
37048, 243gtned 10210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁𝑅)
37116, 240, 370subne0d 10439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑅) ≠ 0)
372371adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁𝑅) ≠ 0)
373369, 331, 372, 332recdivd 10856 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁𝑅) / 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁𝑅)))
374170, 331nncand 10435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − (𝑁𝑅)) = 𝑅)
375374oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁𝑅)) / (𝑁𝑅)) = (𝑅 / (𝑁𝑅)))
376170, 369, 369, 372divsubdird 10878 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁𝑅)) / (𝑁𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅))))
377375, 376eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / (𝑁𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅))))
378369, 372dividd 10837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅)) = 1)
379378oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅))) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
380373, 377, 3793eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁𝑅) / 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
381367, 380breqtrd 4711 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
382198, 197, 198, 199divsubdird 10878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
383176, 197pncand 10431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))
384383oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
385198, 199dividd 10837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 1)
386385oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
387382, 384, 3863eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
388198, 176, 199, 313recdivd 10856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
389319oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
390387, 388, 3893eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
391390fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
392197, 315, 321absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
393348oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
394392, 393syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
395391, 394eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
396368, 371reccld 10832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
397396adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
398248recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
399398adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
400170, 397, 399subdid 10524 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))))
401170, 369, 372divrecd 10842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / (𝑁𝑅)) = (𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))))
402401eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))) = (𝑁 / (𝑁𝑅)))
403170, 171recidd 10834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
404402, 403oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
405400, 404eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
406381, 395, 4053brtr4d 4717 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ≤ (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
407287, 294, 289, 298, 300, 301, 302, 406lemul12ad 11004 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
408249recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
409408adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
410331, 170, 409mul12d 10283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
411407, 410breqtrd 4711 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
412287, 289remulcld 10108 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ∈ ℝ)
413250adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
414412, 413, 341ledivmuld 11963 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
415411, 414mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
416293, 415eqbrtrd 4707 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
417261, 267, 416chvar 2298 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
418253, 417eqbrtrd 4707 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
4193, 4, 156, 234, 250, 418dvlip 23801 . . 3 ((𝜑 ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
4201, 2, 419mpanr12 721 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
421 eqidd 2652 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
422 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 1))
423422, 186sylan9eqr 2707 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 1) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = (𝐴 / 𝑁))
424423oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 1) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = ((𝐴 / 𝑁) + 1))
425424fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 1) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))
426423, 425oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = 1) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
4271a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
428 ovexd 6720 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ V)
429421, 426, 427, 428fvmptd 6327 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
430 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 0))
43118mul01d 10273 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 0) = 0)
432430, 431sylan9eqr 2707 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 0) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = 0)
433432oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = (0 + 1))
434 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
435433, 434syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = 1)
436435fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘1))
437 log1 24377 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
438436, 437syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 0)
439432, 438oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (0 − 0))
440 0m0e0 11168 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
441439, 440syl6eq 2701 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = 0)
4422a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
443421, 441, 442, 442fvmptd 6327 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0) = 0)
444429, 443oveq12d 6708 . . . 4 (𝜑 → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)) = (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0))
44518, 147addcld 10097 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
44612, 14dmgmdivn0 24799 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0)
447445, 446logcld 24362 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
44818, 447subcld 10430 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
449448subid1d 10419 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
450444, 449eqtr2d 2686 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) = (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)))
451450fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) = (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))))
452 1m0e1 11169 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
453452fveq2i 6232 . . . . 5 (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1)
454453, 348eqtri 2673 . . . 4 (abs‘(1 − 0)) = 1
455454oveq2i 6701 . . 3 ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1)
456240, 408mulcld 10098 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℂ)
457456mulid1d 10095 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1) = (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
458455, 457syl5req 2698 . 2 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
459420, 451, 4583brtr4d 4717 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  -∞cmnf 10110   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  [,]cicc 12216  cre 13881  abscabs 14018  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  Topctop 20746  intcnt 20869   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  cnccncf 22726   D cdv 23672  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem3  24802
  Copyright terms: Public domain W3C validator