Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflvscl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflvscl 34885
Description: Closure of a scalar product with a functional. Note that this is the scalar product for a right vector space with the scalar after the vector; reversing these fails closure. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lflsccl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflsccl.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflsccl.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflsccl.t · = (.r𝐷)
lflsccl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lflsccl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lflsccl.g (𝜑𝐺𝐹)
lflsccl.r (𝜑𝑅𝐾)
Assertion
Ref Expression
lflvscl (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lflvscl
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflsccl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
21a1i 11 . 2 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑊))
3 eqidd 2761 . 2 (𝜑 → (+g𝑊) = (+g𝑊))
4 lflsccl.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 = (Scalar‘𝑊))
6 eqidd 2761 . 2 (𝜑 → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊))
7 lflsccl.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
87a1i 11 . 2 (𝜑𝐾 = (Base‘𝐷))
9 eqidd 2761 . 2 (𝜑 → (+g𝐷) = (+g𝐷))
10 lflsccl.t . . 3 · = (.r𝐷)
1110a1i 11 . 2 (𝜑· = (.r𝐷))
12 lflsccl.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
1312a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 = (LFnl‘𝑊))
14 lflsccl.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
154lmodring 19093 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Ring)
177, 10ringcl 18781 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐾𝑦𝐾) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
18173expb 1114 . . . 4 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
1916, 18sylan 489 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐾)
20 lflsccl.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
214, 7, 1, 12lflf 34871 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
2214, 20, 21syl2anc 696 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
23 lflsccl.r . . . 4 (𝜑𝑅𝐾)
24 fconst6g 6255 . . . 4 (𝑅𝐾 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉𝐾)
2523, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × {𝑅}):𝑉𝐾)
26 fvex 6363 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
271, 26eqeltri 2835 . . . 4 𝑉 ∈ V
2827a1i 11 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ V)
29 inidm 3965 . . 3 (𝑉𝑉) = 𝑉
3019, 22, 25, 28, 28, 29off 7078 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})):𝑉𝐾)
3114adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑊 ∈ LMod)
3220adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝐺𝐹)
33 simpr1 1234 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑟𝐾)
34 simpr2 1236 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑥𝑉)
35 simpr3 1238 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑦𝑉)
36 eqid 2760 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
37 eqid 2760 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
38 eqid 2760 . . . . . . 7 (+g𝐷) = (+g𝐷)
391, 36, 4, 37, 7, 38, 10, 12lfli 34869 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))
4031, 32, 33, 34, 35, 39syl113anc 1489 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))
4140oveq1d 6829 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)) · 𝑅))
4216adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝐷 ∈ Ring)
434, 7, 1, 12lflcl 34872 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
4431, 32, 34, 43syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
457, 10ringcl 18781 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → (𝑟 · (𝐺𝑥)) ∈ 𝐾)
4642, 33, 44, 45syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑟 · (𝐺𝑥)) ∈ 𝐾)
474, 7, 1, 12lflcl 34872 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐾)
4831, 32, 35, 47syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝐺𝑦) ∈ 𝐾)
4923adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → 𝑅𝐾)
507, 38, 10ringdir 18787 . . . . 5 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝑟 · (𝐺𝑥)) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺𝑦) ∈ 𝐾𝑅𝐾)) → (((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅)(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
5142, 46, 48, 49, 50syl13anc 1479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)) · 𝑅) = (((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅)(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
527, 10ringass 18784 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝑟𝐾 ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾𝑅𝐾)) → ((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅)))
5342, 33, 44, 49, 52syl13anc 1479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅) = (𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅)))
5453oveq1d 6829 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (((𝑟 · (𝐺𝑥)) · 𝑅)(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)) = ((𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅))(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
5541, 51, 543eqtrd 2798 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅) = ((𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅))(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
561, 4, 37, 7lmodvscl 19102 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟𝐾𝑥𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
5731, 33, 34, 56syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
581, 36lmodvacl 19099 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
5931, 57, 35, 58syl3anc 1477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
60 ffn 6206 . . . . . 6 (𝐺:𝑉𝐾𝐺 Fn 𝑉)
6122, 60syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
62 eqidd 2761 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)))
6328, 23, 61, 62ofc2 7087 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅))
6459, 63syldan 488 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) · 𝑅))
65 eqidd 2761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
6628, 23, 61, 65ofc2 7087 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑅))
6734, 66syldan 488 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑅))
6867oveq2d 6830 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑟 · ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥)) = (𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅)))
69 eqidd 2761 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑦))
7028, 23, 61, 69ofc2 7087 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) · 𝑅))
7135, 70syldan 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦) = ((𝐺𝑦) · 𝑅))
7268, 71oveq12d 6832 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝑟 · ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g𝐷)((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺𝑥) · 𝑅))(+g𝐷)((𝐺𝑦) · 𝑅)))
7355, 64, 723eqtr4d 2804 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉)) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟 · ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑥))(+g𝐷)((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑦)))
742, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 13, 30, 73, 14islfld 34870 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321   × cxp 5264   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  𝑓 cof 7061  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  Ringcrg 18767  LModclmod 19085  LFnlclfn 34865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-mgp 18710  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lfl 34866
This theorem is referenced by:  lkrsc  34905  lfl1dim  34929  ldualvscl  34947  ldualvsass  34949
  Copyright terms: Public domain W3C validator