Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lflf 34865
Description: A linear functional is a function from vectors to scalars. (lnfnfi 29234 analog.) (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflf.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lflf.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lflf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lflf.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lflf ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)

Proof of Theorem lflf
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflf.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2770 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 lflf.d . . 3 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2770 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
5 lflf.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝐷)
6 eqid 2770 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
7 eqid 2770 . . 3 (.r𝐷) = (.r𝐷)
8 lflf.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islfl 34862 . 2 (𝑊𝑋 → (𝐺𝐹 ↔ (𝐺:𝑉𝐾 ∧ ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)(𝐺𝑥))(+g𝐷)(𝐺𝑦)))))
109simprbda 480 1 ((𝑊𝑋𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  .rcmulr 16149  Scalarcsca 16151   ·𝑠 cvsca 16152  LFnlclfn 34859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-map 8010  df-lfl 34860
This theorem is referenced by:  lflcl  34866  lfl1  34872  lfladdcl  34873  lfladdcom  34874  lfladdass  34875  lfladd0l  34876  lflnegl  34878  lflvscl  34879  lflvsdi1  34880  lflvsdi2  34881  lflvsass  34883  lfl0sc  34884  lfl1sc  34886  ellkr  34891  lkr0f  34896  lkrsc  34899  eqlkr2  34902  eqlkr3  34903  ldualvaddval  34933  ldualvsval  34940
  Copyright terms: Public domain W3C validator