Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1dim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1dim 34930
Description: Equivalent expressions for a 1-dim subspace (ray) of functionals. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1dim.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1dim.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1dim.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lfl1dim.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lfl1dim.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lfl1dim.t · = (.r𝐷)
lfl1dim.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lfl1dim.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lfl1dim (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))})
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑔,𝑘,𝜑   · ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   · (𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑉(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lfl1dim
StepHypRef Expression
1 df-rab 3070 . 2 {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ (𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))}
2 lfl1dim.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19319 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 lfl1dim.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
6 lfl1dim.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (Base‘𝐷)
7 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐷) = (0g𝐷)
85, 6, 7lmod0cl 19099 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
94, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
109ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
11 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
12 lfl1dim.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lfl1dim.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
14 lfl1dim.t . . . . . . . . . . 11 · = (.r𝐷)
154ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LMod)
16 lfl1dim.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝐹)
1716ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺𝐹)
1812, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 17lfl0sc 34891 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
1911, 18eqtr4d 2808 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
20 sneq 4326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (0g𝐷) → {𝑘} = {(0g𝐷)})
2120xpeq2d 5279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑉 × {𝑘}) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
2221oveq2d 6809 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2322eqeq2d 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (0g𝐷) → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) ↔ 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))))
2423rspcev 3460 . . . . . . . . 9 (((0g𝐷) ∈ 𝐾𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
2510, 19, 24syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
2625a1d 25 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
279ad3antrrr 709 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (0g𝐷) ∈ 𝐾)
28 lfl1dim.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (LKer‘𝑊)
294ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LMod)
30 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
3112, 13, 28, 29, 30lkrssv 34905 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) ⊆ 𝑉)
324adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
3316adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑔𝐹) → 𝐺𝐹)
345, 7, 12, 13, 28lkr0f 34903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3532, 33, 34syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3635biimpar 463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
3736sseq1d 3781 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔)))
3837biimpa 462 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑉 ⊆ (𝐿𝑔))
3931, 38eqssd 3769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐿𝑔) = 𝑉)
405, 7, 12, 13, 28lkr0f 34903 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑔𝐹) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4129, 30, 40syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ((𝐿𝑔) = 𝑉𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4239, 41mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4316ad3antrrr 709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
4412, 5, 13, 6, 14, 7, 29, 43lfl0sc 34891 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})) = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
4542, 44eqtr4d 2808 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {(0g𝐷)})))
4627, 45, 24syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
4746ex 397 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
48 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
492ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5016ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺𝐹)
51 simprr 756 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5212, 5, 7, 48, 13, 28lkrshp 34914 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5349, 50, 51, 52syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑊))
54 simplr 752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔𝐹)
55 simprl 754 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → 𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
5612, 5, 7, 48, 13, 28lkrshp 34914 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑔𝐹𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5749, 54, 55, 56syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → (𝐿𝑔) ∈ (LSHyp‘𝑊))
5848, 49, 53, 57lshpcmp 34797 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)))
592ad3antrrr 709 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑊 ∈ LVec)
6016ad3antrrr 709 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝐺𝐹)
61 simpllr 760 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → 𝑔𝐹)
62 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔))
635, 6, 14, 12, 13, 28eqlkr2 34909 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝑔𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
6459, 60, 61, 62, 63syl121anc 1481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝑔)) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))
6564ex 397 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) = (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
6658, 65sylbid 230 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ (𝑔 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
6726, 47, 66pm2.61da2ne 3031 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) → ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
682ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LVec)
6916ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
70 simpr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
7112, 5, 6, 14, 13, 28, 68, 69, 70lkrscss 34907 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐹) ∧ 𝑘𝐾) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
7271ex 397 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))))
73 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝑔) = (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
7473sseq2d 3782 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))))
7574biimprcd 240 . . . . . . . 8 ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))) → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7672, 75syl6 35 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐹) → (𝑘𝐾 → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))))
7776rexlimdv 3178 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐹) → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)))
7867, 77impbid 202 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐹) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
7978pm5.32da 568 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) ↔ (𝑔𝐹 ∧ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))))
804adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
8116adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐺𝐹)
82 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑘𝐾)
8312, 5, 6, 14, 13, 80, 81, 82lflvscl 34886 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹)
84 eleq1a 2845 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) ∈ 𝐹 → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔𝐹))
8583, 84syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) → 𝑔𝐹))
8685pm4.71rd 552 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) ↔ (𝑔𝐹𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))))
8786rexbidva 3197 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})) ↔ ∃𝑘𝐾 (𝑔𝐹𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘})))))
88 r19.42v 3240 . . . . 5 (∃𝑘𝐾 (𝑔𝐹𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ (𝑔𝐹 ∧ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
8987, 88syl6rbb 277 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔𝐹 ∧ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
9079, 89bitrd 268 . . 3 (𝜑 → ((𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))))
9190abbidv 2890 . 2 (𝜑 → {𝑔 ∣ (𝑔𝐹 ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔))} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))})
921, 91syl5eq 2817 1 (𝜑 → {𝑔𝐹 ∣ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑔)} = {𝑔 ∣ ∃𝑘𝐾 𝑔 = (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑘}))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wne 2943  wrex 3062  {crab 3065  wss 3723  {csn 4316   × cxp 5247  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152  0gc0g 16308  LModclmod 19073  LVecclvec 19315  LSHypclsh 34784  LFnlclfn 34866  LKerclk 34894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lshyp 34786  df-lfl 34867  df-lkr 34895
This theorem is referenced by:  ldual1dim  34975
  Copyright terms: Public domain W3C validator