Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl1 34879
 Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1.o 0 = (0g𝐷)
lfl1.u 1 = (1r𝐷)
lfl1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfl1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥, 1   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lfl1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nne 2947 . . . . . . 7 (¬ (𝐺𝑧) ≠ 0 ↔ (𝐺𝑧) = 0 )
21ralbii 3129 . . . . . 6 (∀𝑧𝑉 ¬ (𝐺𝑧) ≠ 0 ↔ ∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0 )
3 lfl1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5 lfl1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 lfl1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
73, 4, 5, 6lflf 34872 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
8 ffn 6185 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷) → 𝐺 Fn 𝑉)
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
10 fconstfv 6620 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0 ))
1110simplbi2 488 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝑉 → (∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
13 lfl1.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐷)
14 fvex 6342 . . . . . . . . 9 (0g𝐷) ∈ V
1513, 14eqeltri 2846 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1615fconst2 6614 . . . . . . 7 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
1712, 16syl6ib 241 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (∀𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = 0𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
182, 17syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (∀𝑧𝑉 ¬ (𝐺𝑧) ≠ 0𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1918necon3ad 2956 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ¬ ∀𝑧𝑉 ¬ (𝐺𝑧) ≠ 0 ))
20 dfrex2 3144 . . . 4 (∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑧𝑉 ¬ (𝐺𝑧) ≠ 0 )
2119, 20syl6ibr 242 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 ))
22213impia 1109 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 )
23 simp1l 1239 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
24 lveclmod 19319 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
263lvecdrng 19318 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
2723, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝐷 ∈ DivRing)
28 simp1r 1240 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺𝐹)
29 simp2 1131 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧𝑉)
303, 4, 5, 6lflcl 34873 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑧𝑉) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
3123, 28, 29, 30syl3anc 1476 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
32 simp3 1132 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺𝑧) ≠ 0 )
33 eqid 2771 . . . . . . . 8 (invr𝐷) = (invr𝐷)
344, 13, 33drnginvrcl 18974 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
3527, 31, 32, 34syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
36 eqid 2771 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
375, 3, 36, 4lmodvscl 19090 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr𝐷)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧𝑉) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
3825, 35, 29, 37syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
39 eqid 2771 . . . . . . . 8 (.r𝐷) = (.r𝐷)
403, 4, 39, 5, 36, 6lflmul 34877 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))(.r𝐷)(𝐺𝑧)))
4125, 28, 35, 29, 40syl112anc 1480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))(.r𝐷)(𝐺𝑧)))
42 lfl1.u . . . . . . . 8 1 = (1r𝐷)
434, 13, 39, 42, 33drnginvrl 18976 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))(.r𝐷)(𝐺𝑧)) = 1 )
4427, 31, 32, 43syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))(.r𝐷)(𝐺𝑧)) = 1 )
4541, 44eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = 1 )
46 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑥 = (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)))
4746eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑥 = (((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) → ((𝐺𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = 1 ))
4847rspcev 3460 . . . . 5 (((((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(((invr𝐷)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑊)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 )
4938, 45, 48syl2anc 573 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 )
5049rexlimdv3a 3181 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 ))
51503adant3 1126 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 ))
5222, 51mpd 15 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥𝑉 (𝐺𝑥) = 1 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  Vcvv 3351  {csn 4316   × cxp 5247   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  1rcur 18709  invrcinvr 18879  DivRingcdr 18957  LModclmod 19073  LVecclvec 19315  LFnlclfn 34866 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lvec 19316  df-lfl 34867 This theorem is referenced by:  eqlkr  34908  lkrshp  34914
 Copyright terms: Public domain W3C validator