Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfl0f 34776
 Description: The zero function is a functional. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl0f.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl0f.o 0 = (0g𝐷)
lfl0f.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl0f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lfl0f (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)

Proof of Theorem lfl0f
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lfl0f.o . . . . 5 0 = (0g𝐷)
2 fvex 6314 . . . . 5 (0g𝐷) ∈ V
31, 2eqeltri 2799 . . . 4 0 ∈ V
43fconst 6204 . . 3 (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 }
5 lfl0f.d . . . . 5 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
75, 6, 1lmod0cl 19012 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝐷))
87snssd 4448 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → { 0 } ⊆ (Base‘𝐷))
9 fss 6169 . . 3 (((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶{ 0 } ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐷)) → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
104, 8, 9sylancr 698 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷))
115lmodring 18994 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
1211ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
13 simplrl 819 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐷))
14 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (.r𝐷) = (.r𝐷)
156, 14, 1ringrz 18709 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑟(.r𝐷) 0 ) = 0 )
1612, 13, 15syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟(.r𝐷) 0 ) = 0 )
1716oveq1d 6780 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟(.r𝐷) 0 )(+g𝐷) 0 ) = ( 0 (+g𝐷) 0 ))
18 ringgrp 18673 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Ring → 𝐷 ∈ Grp)
1912, 18syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
206, 1grpidcl 17572 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐷))
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐷))
22 eqid 2724 . . . . . . . 8 (+g𝐷) = (+g𝐷)
236, 22, 1grplid 17574 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐷)) → ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 )
2419, 21, 23syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ( 0 (+g𝐷) 0 ) = 0 )
2517, 24eqtrd 2758 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟(.r𝐷) 0 )(+g𝐷) 0 ) = 0 )
26 simplrr 820 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑥𝑉)
273fvconst2 6585 . . . . . . . 8 (𝑥𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑥) = 0 )
2928oveq2d 6781 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥)) = (𝑟(.r𝐷) 0 ))
303fvconst2 6585 . . . . . . 7 (𝑦𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
3130adantl 473 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
3229, 31oveq12d 6783 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷) 0 )(+g𝐷) 0 ))
33 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
34 lfl0f.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
35 eqid 2724 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
3634, 5, 35, 6lmodvscl 19003 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
3733, 13, 26, 36syl3anc 1439 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉)
38 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
39 eqid 2724 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
4034, 39lmodvacl 19000 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ 𝑉𝑦𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
4133, 37, 38, 40syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
423fvconst2 6585 . . . . . 6 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ 𝑉 → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = 0 )
4341, 42syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = 0 )
4425, 32, 433eqtr4rd 2769 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) ∧ 𝑦𝑉) → ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
4544ralrimiva 3068 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑥𝑉)) → ∀𝑦𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
4645ralrimivva 3073 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥𝑉𝑦𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))
47 lfl0f.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4834, 39, 5, 35, 6, 22, 14, 47islfl 34767 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹 ↔ ((𝑉 × { 0 }):𝑉⟶(Base‘𝐷) ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐷)∀𝑥𝑉𝑦𝑉 ((𝑉 × { 0 })‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑥))(+g𝐷)((𝑉 × { 0 })‘𝑦)))))
4910, 46, 48mpbir2and 995 1 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  ∀wral 3014  Vcvv 3304   ⊆ wss 3680  {csn 4285   × cxp 5216  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  .rcmulr 16065  Scalarcsca 16067   ·𝑠 cvsca 16068  0gc0g 16223  Grpcgrp 17544  Ringcrg 18668  LModclmod 18986  LFnlclfn 34764 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-mgp 18611  df-ring 18670  df-lmod 18988  df-lfl 34765 This theorem is referenced by:  lkr0f  34801  lkrscss  34805  ldualgrplem  34852  ldual0v  34857  ldual0vcl  34858  lclkrlem1  37214  lclkr  37241  lclkrs  37247
 Copyright terms: Public domain W3C validator