Theorem lfinpfin 21500

Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lfinpfin	⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin

Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2748	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2748	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝐴
3	1, 2	locfinbas 21498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∪ 𝐽 = ∪ 𝐴)
4	3	eleq2d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝑥 ∈ ∪ 𝐽 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴))
5	4	biimpar 503	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
6	1	locfinnei 21499	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
7	5, 6	syldan 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
8		inelcm 4164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅)
9	8	expcom 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅))
10	9	ad2antlr 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) ∧ 𝑠 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑠 → (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅))
11	10	ss2rabdv 3812	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅})
12		ssfi 8333	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅}) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
13	12	expcom 450	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ⊆ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} → ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
14	11, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑛) → ({𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
15	14	expimpd 630	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
16	15	rexlimdvw 3160	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → (∃𝑛 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝑛 ∧ {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ (𝑠 ∩ 𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
17	7, 16	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → {𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
18	17	ralrimiva 3092	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin)
19	2	isptfin 21492	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ 𝐴{𝑠 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ∈ 𝑠} ∈ Fin))
20	18, 19	mpbird 247	1 ⊢ (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∀wral 3038  ∃wrex 3039  {crab 3042   ∩ cin 3702   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046  ∪ cuni 4576  ‘cfv 6037  Fincfn 8109  PtFincptfin 21479  LocFinclocfin 21480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-om 7219  df-er 7899  df-en 8110  df-fin 8113  df-top 20872  df-ptfin 21482  df-locfin 21483

This theorem is referenced by:  locfindis  21506