Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfinpfin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfinpfin 21500
 Description: A locally finite cover is point-finite. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lfinpfin (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)

Proof of Theorem lfinpfin
Dummy variables 𝑛 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2748 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
2 eqid 2748 . . . . . . . 8 𝐴 = 𝐴
31, 2locfinbas 21498 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐽 = 𝐴)
43eleq2d 2813 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝑥 𝐽𝑥 𝐴))
54biimpar 503 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐽)
61locfinnei 21499 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
75, 6syldan 488 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → ∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin))
8 inelcm 4164 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑠𝑥𝑛) → (𝑠𝑛) ≠ ∅)
98expcom 450 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑛 → (𝑥𝑠 → (𝑠𝑛) ≠ ∅))
109ad2antlr 765 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝑛) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑥𝑠 → (𝑠𝑛) ≠ ∅))
1110ss2rabdv 3812 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝑛) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ⊆ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅})
12 ssfi 8333 . . . . . . . 8 (({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin ∧ {𝑠𝐴𝑥𝑠} ⊆ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅}) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin)
1312expcom 450 . . . . . . 7 ({𝑠𝐴𝑥𝑠} ⊆ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
1411, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑥𝑛) → ({𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
1514expimpd 630 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → ((𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
1615rexlimdvw 3160 . . . 4 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → (∃𝑛𝐽 (𝑥𝑛 ∧ {𝑠𝐴 ∣ (𝑠𝑛) ≠ ∅} ∈ Fin) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
177, 16mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) ∧ 𝑥 𝐴) → {𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin)
1817ralrimiva 3092 . 2 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → ∀𝑥 𝐴{𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin)
192isptfin 21492 . 2 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → (𝐴 ∈ PtFin ↔ ∀𝑥 𝐴{𝑠𝐴𝑥𝑠} ∈ Fin))
2018, 19mpbird 247 1 (𝐴 ∈ (LocFin‘𝐽) → 𝐴 ∈ PtFin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∀wral 3038  ∃wrex 3039  {crab 3042   ∩ cin 3702   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046  ∪ cuni 4576  ‘cfv 6037  Fincfn 8109  PtFincptfin 21479  LocFinclocfin 21480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-om 7219  df-er 7899  df-en 8110  df-fin 8113  df-top 20872  df-ptfin 21482  df-locfin 21483 This theorem is referenced by:  locfindis  21506
 Copyright terms: Public domain W3C validator