MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrnloop 26065
Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgrnloopv.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfgrnloop (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop
StepHypRef Expression
1 nfcv 2793 . . . 4 𝑥𝐼
2 nfcv 2793 . . . 4 𝑥𝐴
3 lfuhgrnloopv.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
4 nfrab1 3152 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
53, 4nfcxfr 2791 . . . 4 𝑥𝐸
61, 2, 5nff 6079 . . 3 𝑥 𝐼:𝐴𝐸
7 hashsn01 13242 . . . . . . 7 ((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1)
8 2pos 11150 . . . . . . . . . 10 0 < 2
9 0re 10078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
119, 10ltnlei 10196 . . . . . . . . . 10 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
128, 11mpbi 220 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 0
13 breq2 4689 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
1412, 13mtbiri 316 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
15 1lt2 11232 . . . . . . . . . 10 1 < 2
16 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1716, 10ltnlei 10196 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
1815, 17mpbi 220 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 1
19 breq2 4689 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
2018, 19mtbiri 316 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
2114, 20jaoi 393 . . . . . . 7 (((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
227, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈})
23 fveq2 6229 . . . . . . 7 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (#‘(𝐼𝑥)) = (#‘{𝑈}))
2423breq2d 4697 . . . . . 6 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (#‘(𝐼𝑥)) ↔ 2 ≤ (#‘{𝑈})))
2522, 24mtbiri 316 . . . . 5 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (#‘(𝐼𝑥)))
26 lfuhgrnloopv.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27 lfuhgrnloopv.a . . . . . 6 𝐴 = dom 𝐼
2826, 27, 3lfgredgge2 26064 . . . . 5 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → 2 ≤ (#‘(𝐼𝑥)))
2925, 28nsyl3 133 . . . 4 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3029ex 449 . . 3 (𝐼:𝐴𝐸 → (𝑥𝐴 → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈}))
316, 30ralrimi 2986 . 2 (𝐼:𝐴𝐸 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
32 rabeq0 3990 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3331, 32sylibr 224 1 (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  #chash 13157  iEdgciedg 25920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  26437
  Copyright terms: Public domain W3C validator