MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrn1cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrn1cycl 26933
Description: In a loop-free graph there are no cycles with length 1 (consisting of one edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfgrn1cycl.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfgrn1cycl.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfgrn1cycl (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrn1cycl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 26924 . . 3 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2 cycliswlk 26929 . . 3 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 lfgrn1cycl.i . . . . . . . 8 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 lfgrn1cycl.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
53, 4lfgrwlknloop 26821 . . . . . . 7 ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
6 1nn 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
7 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 1 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
86, 7mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) = 1 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
9 lbfzo0 12716 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
108, 9sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 1 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
11 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
12 fv0p1e1 11339 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
1311, 12neeq12d 3004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1413rspcv 3456 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1510, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1615impcom 394 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
17 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
1817neeq2d 3003 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1918adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
2016, 19mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (♯‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
2120ex 397 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2221necon2d 2966 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1))
235, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1))
2423ex 397 . . . . 5 (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
2524com13 88 . . . 4 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
2625adantl 467 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1)))
271, 2, 26sylc 65 . 2 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (♯‘𝐹) ≠ 1))
2827com12 32 1 (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (♯‘𝑥)} → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≠ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  {crab 3065  𝒫 cpw 4298   class class class wbr 4787  dom cdm 5250  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  cle 10281  cn 11226  2c2 11276  ..^cfzo 12673  chash 13321  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  Walkscwlks 26727  Pathscpths 26843  Cyclesccycls 26916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-wlks 26730  df-trls 26824  df-pths 26847  df-cycls 26918
This theorem is referenced by:  umgrn1cycl  26935
  Copyright terms: Public domain W3C validator