MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letri3d 10217
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
letri3d (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 letri3 10161 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118
This theorem is referenced by:  add20  10578  eqord1  10594  msq11  10962  supadd  11029  supmul  11033  suprzcl  11495  uzwo3  11821  flid  12649  flval3  12656  gcd0id  15287  gcdneg  15290  bezoutlem4  15306  gcdzeq  15318  lcmneg  15363  coprmgcdb  15409  qredeq  15418  pcidlem  15623  pcgcd1  15628  4sqlem17  15712  0ram  15771  ram0  15773  mndodconglem  18006  sylow1lem5  18063  zntoslem  19953  cnmpt2pc  22774  ovolsca  23329  ismbl2  23341  voliunlem2  23365  dyadmaxlem  23411  mbfi1fseqlem4  23530  itg2cnlem1  23573  ditgneg  23666  rolle  23798  dvivthlem1  23816  plyeq0lem  24011  dgreq  24045  coemulhi  24055  dgradd2  24069  dgrmul  24071  plydiveu  24098  vieta1lem2  24111  pilem3  24252  zabsle1  25066  ostth2  25371  brbtwn2  25830  axcontlem8  25896  nmophmi  29018  leoptri  29123  2sqmod  29776  fzto1st1  29980  ballotlemfc0  30682  ballotlemfcc  30683  poimirlem23  33562  rmspecfund  37791  ubelsupr  39493  lefldiveq  39819  wallispilem3  40602  fourierdlem6  40648  fourierdlem42  40684  fourierdlem50  40691  fourierdlem52  40693  fourierdlem54  40695  fourierdlem79  40720  fourierdlem102  40743  fourierdlem114  40755  2ffzoeq  41663  lighneallem2  41848
  Copyright terms: Public domain W3C validator