MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letri3d 10402
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
letri3d (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 letri3 10346 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 574 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148   class class class wbr 4797  cr 10158  cle 10298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-resscn 10216  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-op 4333  df-uni 4586  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-id 5171  df-po 5184  df-so 5185  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303
This theorem is referenced by:  add20  10763  eqord1  10779  msq11  11147  supadd  11214  supmul  11218  suprzcl  11681  uzwo3  12008  flid  12839  flval3  12846  gcd0id  15469  gcdneg  15472  bezoutlem4  15488  gcdzeq  15500  lcmneg  15545  coprmgcdb  15591  qredeq  15599  pcidlem  15803  pcgcd1  15808  4sqlem17  15892  0ram  15951  ram0  15953  mndodconglem  18187  sylow1lem5  18244  zntoslem  20140  cnmpt2pc  22967  ovolsca  23523  ismbl2  23535  voliunlem2  23559  dyadmaxlem  23605  mbfi1fseqlem4  23726  itg2cnlem1  23769  ditgneg  23862  rolle  23994  dvivthlem1  24012  plyeq0lem  24207  dgreq  24241  coemulhi  24251  dgradd2  24265  dgrmul  24267  plydiveu  24294  vieta1lem2  24307  pilem3  24448  pilem3OLD  24449  zabsle1  25263  ostth2  25568  brbtwn2  26027  axcontlem8  26093  nmophmi  29247  leoptri  29352  2sqmod  30005  fzto1st1  30209  ballotlemfc0  30911  ballotlemfcc  30912  poimirlem23  33782  rmspecfund  38015  ubelsupr  39713  lefldiveq  40031  wallispilem3  40807  fourierdlem6  40853  fourierdlem42  40889  fourierdlem50  40896  fourierdlem52  40898  fourierdlem54  40900  fourierdlem79  40925  fourierdlem102  40948  fourierdlem114  40960  2ffzoeq  41890  lighneallem2  42075
  Copyright terms: Public domain W3C validator