MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letri3 10329
Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
letri3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem letri3
StepHypRef Expression
1 lttri3 10327 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
2 ancom 448 . . 3 ((¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴))
31, 2syl6bbr 278 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
4 lenlt 10322 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5 lenlt 10322 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
65ancoms 446 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
74, 6anbi12d 616 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
83, 7bitr4d 271 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cr 10141   < clt 10280  cle 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286
This theorem is referenced by:  eqlelt  10331  eqlei  10353  eqlei2  10354  letri3i  10359  letri3d  10385  lesub0  10751  eqord1  10762  lbreu  11179  nnle1eq1  11254  nn0le0eq0  11528  zextle  11657  uz11  11916  uzin  11927  uzwo  11959  qsqueeze  12237  elfz1eq  12559  faclbnd4lem4  13287  swrdccat3blem  13704  repswswrd  13740  sqeqd  14114  max0add  14258  fsum00  14737  reef11  15055  dvdsabseq  15244  nn0seqcvgd  15491  infpnlem1  15821  psrbaglesupp  19583  gzrngunit  20027  nmoeq0  22760  oprpiece1res2  22971  pcoval2  23035  minveclem7  23425  pjthlem1  23427  iblposlem  23778  dvferm  23971  dveq0  23983  dv11cn  23984  fta1blem  24148  dgrco  24251  aalioulem3  24309  logf1o2  24617  cxpsqrtlem  24669  ang180lem3  24762  chpeq0  25154  chteq0  25155  lgsdir  25278  lgsabs1  25282  minvecolem7  28079  pjhthlem1  28590  pjnormssi  29367  hstles  29430  stge1i  29437  stle0i  29438  stlesi  29440  cdj3lem1  29633  derangen  31492  bfplem2  33954  bfp  33955  acongeq  38076  jm2.26lem3  38094  dvconstbi  39059  zgeltp1eq  41843  zgtp1leeq  42836
  Copyright terms: Public domain W3C validator