MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesubaddd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lesubaddd 10836
Description: 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lesubaddd (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem lesubaddd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltadd1d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 lesubadd 10712 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1477 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147   + caddc 10151  cle 10287  cmin 10478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481
This theorem is referenced by:  elfzomelpfzo  12786  modaddmodup  12947  sqrlem7  14208  absrdbnd  14300  caucvgrlem  14622  cvgcmp  14767  oddge22np1  15295  ramub1lem1  15952  chfacfisf  20881  chfacfisfcpmat  20882  uniioombllem4  23574  mbfi1fseqlem6  23706  dvfsumlem1  24008  abelthlem2  24405  argimgt0  24578  harmonicbnd4  24957  ppiub  25149  logfaclbnd  25167  logfacbnd3  25168  bcmax  25223  lgseisen  25324  log2sumbnd  25453  chpdifbndlem1  25462  pntpbnd2  25496  pntibndlem2  25500  pntlemo  25516  crctcshwlkn0lem5  26938  clwlkclwwlklem2  27144  clwlkclwwlk2  27147  nvabs  27857  dnibndlem4  32798  dnibndlem10  32804  itg2addnclem2  33793  itg2addnclem3  33794  fzmaxdif  38068  int-ineqmvtd  39014  binomcxplemnotnn0  39075  xrralrecnnge  40129  limsupgtlem  40530  fourierdlem26  40871  hoidmv1lelem1  41329  leaddsuble  41839  fmtnoge3  41970  fmtnoprmfac2lem1  42006  bgoldbtbndlem2  42222  nnolog2flm1  42912
  Copyright terms: Public domain W3C validator