MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lesub1dd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lesub1dd 10835
Description: Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
lesub1dd (𝜑 → (𝐴𝐶) ≤ (𝐵𝐶))

Proof of Theorem lesub1dd
StepHypRef Expression
1 leadd1dd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 leidd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ltnegd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ltadd1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
52, 3, 4lesub1d 10826 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐶) ≤ (𝐵𝐶)))
61, 5mpbid 222 1 (𝜑 → (𝐴𝐶) ≤ (𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  cle 10267  cmin 10458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461
This theorem is referenced by:  eluzmn  11886  elfzmlbm  12643  modmulnn  12882  icodiamlt  14373  rlimrege0  14509  climsqz2  14571  rlimsqz2  14580  isercolllem1  14594  caucvgrlem  14602  climcndslem1  14780  bitsinv1lem  15365  hashdvds  15682  4sqlem6  15849  dvfsumlem2  23989  dvfsumlem4  23991  dvfsum2  23996  isosctrlem1  24747  lgamgulmlem2  24955  basellem9  25014  ppiub  25128  chtub  25136  logfaclbnd  25146  bposlem1  25208  bposlem6  25213  selberg2lem  25438  pntpbnd2  25475  pntlemo  25495  ttgcontlem1  25964  axpaschlem  26019  axcontlem8  26050  dnibndlem10  32783  unbdqndv2lem2  32807  poimirlem6  33728  poimirlem7  33729  itg2addnclem3  33776  iccbnd  33952  jm2.24nn  38028  fzmaxdif  38050  areaquad  38304  monoords  40010  iccshift  40247  climinf  40341  sumnnodd  40365  dvnmul  40661  itgiccshift  40699  itgperiod  40700  itgsbtaddcnst  40701  stoweidlem13  40733  stoweidlem26  40746  stoweidlem34  40754  fourierdlem19  40846  fourierdlem42  40869  fourierdlem74  40900  fourierdlem75  40901  fourierdlem79  40905  fourierdlem81  40907  fourierdlem82  40908  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  fouriersw  40951  hoidmvlelem1  41315  bgoldbtbndlem2  42204
  Copyright terms: Public domain W3C validator