Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lerabdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lerabdioph 37895
Description: Diophantine set builder for the less or equals relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lerabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable group:   𝑡,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑡)

Proof of Theorem lerabdioph
StepHypRef Expression
1 rabdiophlem1 37891 . . . 4 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ)
2 rabdiophlem1 37891 . . . 4 ((𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ)
3 znn0sub 11631 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0))
43ralimi 3101 . . . . 5 (∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))(𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0))
5 r19.26 3212 . . . . 5 (∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))(𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ (∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ))
6 rabbi 3269 . . . . 5 (∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))(𝐴𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0})
74, 5, 63imtr3i 280 . . . 4 ((∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))𝐴 ∈ ℤ ∧ ∀𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁))𝐵 ∈ ℤ) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0})
81, 2, 7syl2an 583 . . 3 (((𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0})
983adant1 1124 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} = {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0})
10 simp1 1130 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
11 mzpsubmpt 37832 . . . . 5 (((𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝐵𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
1211ancoms 446 . . . 4 (((𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝐵𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
13123adant1 1124 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝐵𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)))
14 elnn0rabdioph 37893 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ (𝐵𝐴)) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0} ∈ (Dioph‘𝑁))
1510, 13, 14syl2anc 573 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ (𝐵𝐴) ∈ ℕ0} ∈ (Dioph‘𝑁))
169, 15eqeltrd 2850 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐴) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁)) ∧ (𝑡 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...𝑁)) ↦ 𝐵) ∈ (mzPoly‘(1...𝑁))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝐴𝐵} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  1c1 10143  cle 10281  cmin 10472  0cn0 11499  cz 11584  ...cfz 12533  mzPolycmzp 37811  Diophcdioph 37844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-hash 13322  df-mzpcl 37812  df-mzp 37813  df-dioph 37845
This theorem is referenced by:  eluzrabdioph  37896  rmydioph  38107
  Copyright terms: Public domain W3C validator